Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8485 / 5908
↖ ↑ ↗
← N 44.777936°
E  6.437988°		 ← 1 734.34 m → N 44.777936°
E  6.459961°		 →
↑
1 734.50 m
↓
↑
1 734.50 m
↓
N 44.762337°
E  6.437988°		 ← 1 734.81 m →
3 008 630 m²		 N 44.762337°
E  6.459961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517913818359375 y=0.360626220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517913818359375 × 214)
    floor (0.517913818359375 × 16384)
    floor (8485.5)     		tx = 8485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360626220703125 × 214)
    floor (0.360626220703125 × 16384)
    floor (5908.5)     		ty = 5908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8485 / 5908 ti = "14/8485/5908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8485/5908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8485 ÷ 214
    8485 ÷ 16384     		x = 0.51788330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5908 ÷ 214
    5908 ÷ 16384     		y = 0.360595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51788330078125 × 2 - 1) × π
    0.0357666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11236409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360595703125 × 2 - 1) × π
    0.27880859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.875903029857666
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11236409} λ = 0.11236409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.875903029857666))-π/2
    2×atan(2.40104252837378)-π/2
    2×1.1761593702074-π/2
    2.3523187404148-1.57079632675     		φ = 0.78152241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11236409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.437988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78152241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.777936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8485 KachelY 5908 0.11236409 0.78152241 6.437988 44.777936
    Oben rechts KachelX + 1 8486 KachelY 5908 0.11274759 0.78152241 6.459961 44.777936
    Unten links KachelX 8485 KachelY + 1 5909 0.11236409 0.78125016 6.437988 44.762337
    Unten rechts KachelX + 1 8486 KachelY + 1 5909 0.11274759 0.78125016 6.459961 44.762337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78152241-0.78125016) × R
    0.000272249999999974 × 6371000     		dl = 1734.50474999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78152241-0.78125016) × R
    0.000272249999999974 × 6371000     		dr = 1734.50474999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11236409-0.11274759) × cos(0.78152241) × R
    0.000383499999999995 × 0.709842034951841 × 6371000     		do = 1734.34178239406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11236409-0.11274759) × cos(0.78125016) × R
    0.000383499999999995 × 0.710033770899269 × 6371000     		du = 1734.81024671209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78152241)-sin(0.78125016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709842034951841-0.710033770899269)×R²
    abs(0.11274759-0.11236409)×0.00019173594742794×R²
    0.000383499999999995×0.00019173594742794×6371000²
    0.000383499999999995×0.00019173594742794×40589641000000     		ar = 3008630.35506235m²