Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8483 / 8541
↖ ↑ ↗
← S  7.645665°
E  6.394043°		 ← 2 421.56 m → S  7.645665°
E  6.416016°		 →
↑
2 421.49 m
↓
↑
2 421.49 m
↓
S  7.667442°
E  6.394043°		 ← 2 421.43 m →
5 863 626 m²		 S  7.667442°
E  6.416016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517791748046875 y=0.521331787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517791748046875 × 214)
    floor (0.517791748046875 × 16384)
    floor (8483.5)     		tx = 8483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521331787109375 × 214)
    floor (0.521331787109375 × 16384)
    floor (8541.5)     		ty = 8541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8483 / 8541 ti = "14/8483/8541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8483/8541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8483 ÷ 214
    8483 ÷ 16384     		x = 0.51776123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8541 ÷ 214
    8541 ÷ 16384     		y = 0.52130126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51776123046875 × 2 - 1) × π
    0.0355224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11159710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52130126953125 × 2 - 1) × π
    -0.0426025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.133839823739197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11159710} λ = 0.11159710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.133839823739197))-π/2
    2×atan(0.874730164389648)-π/2
    2×0.718677151935094-π/2
    1.43735430387019-1.57079632675     		φ = -0.13344202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11159710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.394043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13344202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.645665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8483 KachelY 8541 0.11159710 -0.13344202 6.394043 -7.645665
    Oben rechts KachelX + 1 8484 KachelY 8541 0.11198060 -0.13344202 6.416016 -7.645665
    Unten links KachelX 8483 KachelY + 1 8542 0.11159710 -0.13382210 6.394043 -7.667442
    Unten rechts KachelX + 1 8484 KachelY + 1 8542 0.11198060 -0.13382210 6.416016 -7.667442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13344202--0.13382210) × R
    0.000380080000000005 × 6371000     		dl = 2421.48968000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13344202--0.13382210) × R
    0.000380080000000005 × 6371000     		dr = 2421.48968000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11159710-0.11198060) × cos(-0.13344202) × R
    0.000383499999999995 × 0.991109817524472 × 6371000     		do = 2421.55730829643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11159710-0.11198060) × cos(-0.13382210) × R
    0.000383499999999995 × 0.991059177683065 × 6371000     		du = 2421.43358106068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13344202)-sin(-0.13382210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991109817524472-0.991059177683065)×R²
    abs(0.11198060-0.11159710)×5.0639841406408e-05×R²
    0.000383499999999995×5.0639841406408e-05×6371000²
    0.000383499999999995×5.0639841406408e-05×40589641000000     		ar = 5863626.3000446m²