Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 8482 / 24806
↖ ↑ ↗
← N 40.019201°
W133.406983°		 ← 467.81 m → N 40.019201°
W133.401489°		 →
↑
467.82 m
↓
↑
467.82 m
↓
N 40.014994°
W133.406983°		 ← 467.84 m →
218 858 m²		 N 40.014994°
W133.401489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129432678222656 y=0.378517150878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129432678222656 × 216)
    floor (0.129432678222656 × 65536)
    floor (8482.5)     		tx = 8482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378517150878906 × 216)
    floor (0.378517150878906 × 65536)
    floor (24806.5)     		ty = 24806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8482 / 24806 ti = "16/8482/24806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8482/24806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8482 ÷ 216
    8482 ÷ 65536     		x = 0.129425048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24806 ÷ 216
    24806 ÷ 65536     		y = 0.378509521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129425048828125 × 2 - 1) × π
    -0.74114990234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.32839109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378509521484375 × 2 - 1) × π
    0.24298095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.763347189549774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32839109} λ = -2.32839109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.763347189549774))-π/2
    2×atan(2.14544542797131)-π/2
    2×1.13463157680787-π/2
    2.26926315361574-1.57079632675     		φ = 0.69846683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32839109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.406983°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69846683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.019201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8482 KachelY 24806 -2.32839109 0.69846683 -133.406983 40.019201
    Oben rechts KachelX + 1 8483 KachelY 24806 -2.32829521 0.69846683 -133.401489 40.019201
    Unten links KachelX 8482 KachelY + 1 24807 -2.32839109 0.69839340 -133.406983 40.014994
    Unten rechts KachelX + 1 8483 KachelY + 1 24807 -2.32829521 0.69839340 -133.401489 40.014994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69846683-0.69839340) × R
    7.34299999999299e-05 × 6371000     		dl = 467.822529999554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69846683-0.69839340) × R
    7.34299999999299e-05 × 6371000     		dr = 467.822529999554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32839109--2.32829521) × cos(0.69846683) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.765828983206317 × 6371000     		do = 467.807767820334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32839109--2.32829521) × cos(0.69839340) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.765876199884375 × 6371000     		du = 467.836610198006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69846683)-sin(0.69839340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765828983206317-0.765876199884375)×R²
    abs(-2.32829521--2.32839109)×4.72166780577377e-05×R²
    9.58800000003812e-05×4.72166780577377e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×4.72166780577377e-05×40589641000000     		ar = 218857.760150266m²