Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8480 / 5918
↖ ↑ ↗
← N 44.621754°
E  6.328125°		 ← 1 738.98 m → N 44.621754°
E  6.350098°		 →
↑
1 739.28 m
↓
↑
1 739.28 m
↓
N 44.606113°
E  6.328125°		 ← 1 739.45 m →
3 024 988 m²		 N 44.606113°
E  6.350098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517608642578125 y=0.361236572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517608642578125 × 214)
    floor (0.517608642578125 × 16384)
    floor (8480.5)     		tx = 8480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.361236572265625 × 214)
    floor (0.361236572265625 × 16384)
    floor (5918.5)     		ty = 5918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8480 / 5918 ti = "14/8480/5918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8480/5918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8480 ÷ 214
    8480 ÷ 16384     		x = 0.517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5918 ÷ 214
    5918 ÷ 16384     		y = 0.3612060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517578125 × 2 - 1) × π
    0.03515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11044662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3612060546875 × 2 - 1) × π
    0.277587890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.872068077888062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11044662} λ = 0.11044662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.872068077888062))-π/2
    2×atan(2.39185227894637)-π/2
    2×1.17479642688585-π/2
    2.34959285377169-1.57079632675     		φ = 0.77879653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11044662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77879653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.621754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8480 KachelY 5918 0.11044662 0.77879653 6.328125 44.621754
    Oben rechts KachelX + 1 8481 KachelY 5918 0.11083011 0.77879653 6.350098 44.621754
    Unten links KachelX 8480 KachelY + 1 5919 0.11044662 0.77852353 6.328125 44.606113
    Unten rechts KachelX + 1 8481 KachelY + 1 5919 0.11083011 0.77852353 6.350098 44.606113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77879653-0.77852353) × R
    0.000273000000000079 × 6371000     		dl = 1739.2830000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77879653-0.77852353) × R
    0.000273000000000079 × 6371000     		dr = 1739.2830000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11044662-0.11083011) × cos(0.77879653) × R
    0.00038349 × 0.711759398668387 × 6371000     		do = 1738.98108974811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11044662-0.11083011) × cos(0.77852353) × R
    0.00038349 × 0.711951133716377 × 6371000     		du = 1739.44953965312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77879653)-sin(0.77852353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.711759398668387-0.711951133716377)×R²
    abs(0.11083011-0.11044662)×0.000191735047990527×R²
    0.00038349×0.000191735047990527×6371000²
    0.00038349×0.000191735047990527×40589641000000     		ar = 3024987.64898698m²