Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 848 / 271
↖ ↑ ↗
← N 82.506295°
W105.468750°		 ← 1 274.57 m → N 82.506295°
W105.380859°		 →
↑
1 275.54 m
↓
↑
1 275.54 m
↓
N 82.494824°
W105.468750°		 ← 1 276.51 m →
1 627 005 m²		 N 82.494824°
W105.380859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2071533203125 y=0.0662841796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2071533203125 × 212)
    floor (0.2071533203125 × 4096)
    floor (848.5)     		tx = 848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0662841796875 × 212)
    floor (0.0662841796875 × 4096)
    floor (271.5)     		ty = 271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 848 / 271 ti = "12/848/271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/848/271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 848 ÷ 212
    848 ÷ 4096     		x = 0.20703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 271 ÷ 212
    271 ÷ 4096     		y = 0.066162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.20703125 × 2 - 1) × π
    -0.5859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.84077695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.066162109375 × 2 - 1) × π
    0.86767578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.72588385999487
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.84077695} λ = -1.84077695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.72588385999487))-π/2
    2×atan(15.2699044217705)-π/2
    2×1.5054014122257-π/2
    3.0108028244514-1.57079632675     		φ = 1.44000650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.84077695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -105.468750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44000650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.506295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 848 KachelY 271 -1.84077695 1.44000650 -105.468750 82.506295
    Oben rechts KachelX + 1 849 KachelY 271 -1.83924296 1.44000650 -105.380859 82.506295
    Unten links KachelX 848 KachelY + 1 272 -1.84077695 1.43980629 -105.468750 82.494824
    Unten rechts KachelX + 1 849 KachelY + 1 272 -1.83924296 1.43980629 -105.380859 82.494824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44000650-1.43980629) × R
    0.000200210000000034 × 6371000     		dl = 1275.53791000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44000650-1.43980629) × R
    0.000200210000000034 × 6371000     		dr = 1275.53791000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.84077695--1.83924296) × cos(1.44000650) × R
    0.00153398999999999 × 0.130417264256127 × 6371000     		do = 1274.57448225934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.84077695--1.83924296) × cos(1.43980629) × R
    0.00153398999999999 × 0.130615761686591 × 6371000     		du = 1276.5144076297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44000650)-sin(1.43980629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.130417264256127-0.130615761686591)×R²
    abs(-1.83924296--1.84077695)×0.000198497430464351×R²
    0.00153398999999999×0.000198497430464351×6371000²
    0.00153398999999999×0.000198497430464351×40589641000000     		ar = 1627005.30084684m²