Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8478 / 7470
↖ ↑ ↗
← N 79.891666°
W133.428955°		 ← 107.20 m → N 79.891666°
W133.423462°		 →
↑
107.22 m
↓
↑
107.22 m
↓
N 79.890701°
W133.428955°		 ← 107.21 m →
11 495 m²		 N 79.890701°
W133.423462°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129371643066406 y=0.113990783691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129371643066406 × 216)
    floor (0.129371643066406 × 65536)
    floor (8478.5)     		tx = 8478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113990783691406 × 216)
    floor (0.113990783691406 × 65536)
    floor (7470.5)     		ty = 7470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8478 / 7470 ti = "16/8478/7470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8478/7470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8478 ÷ 216
    8478 ÷ 65536     		x = 0.129364013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7470 ÷ 216
    7470 ÷ 65536     		y = 0.113983154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129364013671875 × 2 - 1) × π
    -0.74127197265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.32877458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113983154296875 × 2 - 1) × π
    0.77203369140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.42541537317636
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32877458} λ = -2.32877458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42541537317636))-π/2
    2×atan(11.3069250373628)-π/2
    2×1.48258446788373-π/2
    2.96516893576745-1.57079632675     		φ = 1.39437261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32877458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.428955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39437261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.891666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8478 KachelY 7470 -2.32877458 1.39437261 -133.428955 79.891666
    Oben rechts KachelX + 1 8479 KachelY 7470 -2.32867871 1.39437261 -133.423462 79.891666
    Unten links KachelX 8478 KachelY + 1 7471 -2.32877458 1.39435578 -133.428955 79.890701
    Unten rechts KachelX + 1 8479 KachelY + 1 7471 -2.32867871 1.39435578 -133.423462 79.890701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39437261-1.39435578) × R
    1.68300000000787e-05 × 6371000     		dl = 107.223930000502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39437261-1.39435578) × R
    1.68300000000787e-05 × 6371000     		dr = 107.223930000502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32877458--2.32867871) × cos(1.39437261) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.175509932375876 × 6371000     		do = 107.19932020871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32877458--2.32867871) × cos(1.39435578) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.175526501110042 × 6371000     		du = 107.209440188903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39437261)-sin(1.39435578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175509932375876-0.175526501110042)×R²
    abs(-2.32867871--2.32877458)×1.6568734165695e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.6568734165695e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.6568734165695e-05×40589641000000     		ar = 11494.8749585561m²