Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8478 / 5897
↖ ↑ ↗
← N 44.949249°
E  6.284180°		 ← 1 729.14 m → N 44.949249°
E  6.306152°		 →
↑
1 729.41 m
↓
↑
1 729.41 m
↓
N 44.933697°
E  6.284180°		 ← 1 729.61 m →
2 990 799 m²		 N 44.933697°
E  6.306152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517486572265625 y=0.359954833984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517486572265625 × 214)
    floor (0.517486572265625 × 16384)
    floor (8478.5)     		tx = 8478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359954833984375 × 214)
    floor (0.359954833984375 × 16384)
    floor (5897.5)     		ty = 5897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8478 / 5897 ti = "14/8478/5897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8478/5897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8478 ÷ 214
    8478 ÷ 16384     		x = 0.5174560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5897 ÷ 214
    5897 ÷ 16384     		y = 0.35992431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5174560546875 × 2 - 1) × π
    0.034912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10967963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35992431640625 × 2 - 1) × π
    0.2801513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.880121477024231
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10967963} λ = 0.10967963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.880121477024231))-π/2
    2×atan(2.41119259312841)-π/2
    2×1.17765436138956-π/2
    2.35530872277911-1.57079632675     		φ = 0.78451240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10967963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.284180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78451240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.949249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8478 KachelY 5897 0.10967963 0.78451240 6.284180 44.949249
    Oben rechts KachelX + 1 8479 KachelY 5897 0.11006312 0.78451240 6.306152 44.949249
    Unten links KachelX 8478 KachelY + 1 5898 0.10967963 0.78424095 6.284180 44.933697
    Unten rechts KachelX + 1 8479 KachelY + 1 5898 0.11006312 0.78424095 6.306152 44.933697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78451240-0.78424095) × R
    0.000271449999999951 × 6371000     		dl = 1729.40794999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78451240-0.78424095) × R
    0.000271449999999951 × 6371000     		dr = 1729.40794999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10967963-0.11006312) × cos(0.78451240) × R
    0.00038349 × 0.707732833019741 × 6371000     		do = 1729.14332500243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10967963-0.11006312) × cos(0.78424095) × R
    0.00038349 × 0.707924580986091 × 6371000     		du = 1729.61180646977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78451240)-sin(0.78424095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707732833019741-0.707924580986091)×R²
    abs(0.11006312-0.10967963)×0.000191747966349909×R²
    0.00038349×0.000191747966349909×6371000²
    0.00038349×0.000191747966349909×40589641000000     		ar = 2990799.32909986m²