Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8477 / 5912
N 44.715514°
E  6.262207°
← 1 736.22 m → N 44.715514°
E  6.284180°

1 736.42 m

1 736.42 m
N 44.699898°
E  6.262207°
← 1 736.68 m →
3 015 200 m²
N 44.699898°
E  6.284180°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517425537109375 y=0.360870361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517425537109375 × 214)
    floor (0.517425537109375 × 16384)
    floor (8477.5)
    tx = 8477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360870361328125 × 214)
    floor (0.360870361328125 × 16384)
    floor (5912.5)
    ty = 5912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8477 / 5912 ti = "14/8477/5912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8477/5912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8477 ÷ 214
    8477 ÷ 16384
    x = 0.51739501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5912 ÷ 214
    5912 ÷ 16384
    y = 0.36083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.51739501953125 × 2 - 1) × π
    0.0347900390625 × 3.1415926535
    Λ = 0.10929613
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.36083984375 × 2 - 1) × π
    0.2783203125 × 3.1415926535
    Φ = 0.874369049069824
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10929613} λ = 0.10929613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.874369049069824))-π/2
    2×atan(2.3973621987636)-π/2
    2×1.17561463406082-π/2
    2.35122926812165-1.57079632675
    φ = 0.78043294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10929613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.262207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78043294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.715514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8477 KachelY 5912 0.10929613 0.78043294 6.262207 44.715514
    Oben rechts KachelX + 1 8478 KachelY 5912 0.10967963 0.78043294 6.284180 44.715514
    Unten links KachelX 8477 KachelY + 1 5913 0.10929613 0.78016039 6.262207 44.699898
    Unten rechts KachelX + 1 8478 KachelY + 1 5913 0.10967963 0.78016039 6.284180 44.699898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.78043294-0.78016039) × R
    0.000272549999999927 × 6371000
    dl = 1736.41604999954m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.78043294-0.78016039) × R
    0.000272549999999927 × 6371000
    dr = 1736.41604999954m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.10929613-0.10967963) × cos(0.78043294) × R
    0.000383499999999995 × 0.710608993604276 × 6371000
    do = 1736.21567597994m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.10929613-0.10967963) × cos(0.78016039) × R
    0.000383499999999995 × 0.710800729882607 × 6371000
    du = 1736.68414110646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.78043294)-sin(0.78016039))×
    abs(λ12)×abs(0.710608993604276-0.710800729882607)×
    abs(0.10967963-0.10929613)×0.000191736278331467×
    0.000383499999999995×0.000191736278331467×6371000²
    0.000383499999999995×0.000191736278331467×40589641000000
    ar = 3015199.50988082m²