Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 8477 / 24804
↖ ↑ ↗
← N 40.027614°
W133.434448°		 ← 467.75 m → N 40.027614°
W133.428955°		 →
↑
467.70 m
↓
↑
467.70 m
↓
N 40.023408°
W133.434448°		 ← 467.78 m →
218 771 m²		 N 40.023408°
W133.428955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129356384277344 y=0.378486633300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129356384277344 × 216)
    floor (0.129356384277344 × 65536)
    floor (8477.5)     		tx = 8477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378486633300781 × 216)
    floor (0.378486633300781 × 65536)
    floor (24804.5)     		ty = 24804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8477 / 24804 ti = "16/8477/24804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8477/24804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8477 ÷ 216
    8477 ÷ 65536     		x = 0.129348754882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24804 ÷ 216
    24804 ÷ 65536     		y = 0.37847900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129348754882812 × 2 - 1) × π
    -0.741302490234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.32887046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37847900390625 × 2 - 1) × π
    0.2430419921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.763538937148254
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32887046} λ = -2.32887046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.763538937148254))-π/2
    2×atan(2.14585685142326)-π/2
    2×1.13470499521557-π/2
    2.26940999043115-1.57079632675     		φ = 0.69861366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32887046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.434448°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69861366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.027614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8477 KachelY 24804 -2.32887046 0.69861366 -133.434448 40.027614
    Oben rechts KachelX + 1 8478 KachelY 24804 -2.32877458 0.69861366 -133.428955 40.027614
    Unten links KachelX 8477 KachelY + 1 24805 -2.32887046 0.69854025 -133.434448 40.023408
    Unten rechts KachelX + 1 8478 KachelY + 1 24805 -2.32877458 0.69854025 -133.428955 40.023408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69861366-0.69854025) × R
    7.34100000000515e-05 × 6371000     		dl = 467.695110000328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69861366-0.69854025) × R
    7.34100000000515e-05 × 6371000     		dr = 467.695110000328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32887046--2.32877458) × cos(0.69861366) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.765734556757189 × 6371000     		do = 467.750087281966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32887046--2.32877458) × cos(0.69854025) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.765781768829941 × 6371000     		du = 467.778926846481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69861366)-sin(0.69854025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765734556757189-0.765781768829941)×R²
    abs(-2.32877458--2.32887046)×4.72120727519343e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.72120727519343e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.72120727519343e-05×40589641000000     		ar = 218771.17268387m²