Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8474 / 5976
↖ ↑ ↗
← N 43.707593°
E  6.196289°		 ← 1 766.14 m → N 43.707593°
E  6.218262°		 →
↑
1 766.36 m
↓
↑
1 766.36 m
↓
N 43.691708°
E  6.196289°		 ← 1 766.61 m →
3 120 052 m²		 N 43.691708°
E  6.218262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517242431640625 y=0.364776611328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517242431640625 × 214)
    floor (0.517242431640625 × 16384)
    floor (8474.5)     		tx = 8474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364776611328125 × 214)
    floor (0.364776611328125 × 16384)
    floor (5976.5)     		ty = 5976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8474 / 5976 ti = "14/8474/5976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8474/5976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8474 ÷ 214
    8474 ÷ 16384     		x = 0.5172119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5976 ÷ 214
    5976 ÷ 16384     		y = 0.36474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5172119140625 × 2 - 1) × π
    0.034423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10814565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36474609375 × 2 - 1) × π
    0.2705078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.849825356464356
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10814565} λ = 0.10814565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.849825356464356))-π/2
    2×atan(2.33923828340557)-π/2
    2×1.16681887077317-π/2
    2.33363774154635-1.57079632675     		φ = 0.76284141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10814565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.196289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76284141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.707593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8474 KachelY 5976 0.10814565 0.76284141 6.196289 43.707593
    Oben rechts KachelX + 1 8475 KachelY 5976 0.10852914 0.76284141 6.218262 43.707593
    Unten links KachelX 8474 KachelY + 1 5977 0.10814565 0.76256416 6.196289 43.691708
    Unten rechts KachelX + 1 8475 KachelY + 1 5977 0.10852914 0.76256416 6.218262 43.691708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76284141-0.76256416) × R
    0.000277250000000007 × 6371000     		dl = 1766.35975000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76284141-0.76256416) × R
    0.000277250000000007 × 6371000     		dr = 1766.35975000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10814565-0.10852914) × cos(0.76284141) × R
    0.00038349 × 0.72287557907163 × 6371000     		do = 1766.14030611762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10814565-0.10852914) × cos(0.76256416) × R
    0.00038349 × 0.72306712499716 × 6371000     		du = 1766.60829395584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76284141)-sin(0.76256416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72287557907163-0.72306712499716)×R²
    abs(0.10852914-0.10814565)×0.000191545925530501×R²
    0.00038349×0.000191545925530501×6371000²
    0.00038349×0.000191545925530501×40589641000000     		ar = 3120052.48700665m²