Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8473 / 5971
↖ ↑ ↗
← N 43.786958°
E  6.174316°		 ← 1 763.85 m → N 43.786958°
E  6.196289°		 →
↑
1 764.07 m
↓
↑
1 764.07 m
↓
N 43.771094°
E  6.174316°		 ← 1 764.31 m →
3 111 954 m²		 N 43.771094°
E  6.196289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517181396484375 y=0.364471435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517181396484375 × 214)
    floor (0.517181396484375 × 16384)
    floor (8473.5)     		tx = 8473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364471435546875 × 214)
    floor (0.364471435546875 × 16384)
    floor (5971.5)     		ty = 5971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8473 / 5971 ti = "14/8473/5971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8473/5971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8473 ÷ 214
    8473 ÷ 16384     		x = 0.51715087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5971 ÷ 214
    5971 ÷ 16384     		y = 0.36444091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51715087890625 × 2 - 1) × π
    0.0343017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10776215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36444091796875 × 2 - 1) × π
    0.2711181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.851742832449158
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10776215} λ = 0.10776215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.851742832449158))-π/2
    2×atan(2.34372801974191)-π/2
    2×1.16751145991094-π/2
    2.33502291982189-1.57079632675     		φ = 0.76422659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10776215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.174316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76422659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.786958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8473 KachelY 5971 0.10776215 0.76422659 6.174316 43.786958
    Oben rechts KachelX + 1 8474 KachelY 5971 0.10814565 0.76422659 6.196289 43.786958
    Unten links KachelX 8473 KachelY + 1 5972 0.10776215 0.76394970 6.174316 43.771094
    Unten rechts KachelX + 1 8474 KachelY + 1 5972 0.10814565 0.76394970 6.196289 43.771094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76422659-0.76394970) × R
    0.000276890000000085 × 6371000     		dl = 1764.06619000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76422659-0.76394970) × R
    0.000276890000000085 × 6371000     		dr = 1764.06619000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10776215-0.10814565) × cos(0.76422659) × R
    0.000383499999999995 × 0.721917756671151 × 6371000     		do = 1763.84613364283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10776215-0.10814565) × cos(0.76394970) × R
    0.000383499999999995 × 0.722109331023211 × 6371000     		du = 1764.31420313837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76422659)-sin(0.76394970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721917756671151-0.722109331023211)×R²
    abs(0.10814565-0.10776215)×0.000191574352059964×R²
    0.000383499999999995×0.000191574352059964×6371000²
    0.000383499999999995×0.000191574352059964×40589641000000     		ar = 3111954.20139051m²