Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8473 / 5969
↖ ↑ ↗
← N 43.818675°
E  6.174316°		 ← 1 762.91 m → N 43.818675°
E  6.196289°		 →
↑
1 763.11 m
↓
↑
1 763.11 m
↓
N 43.802819°
E  6.174316°		 ← 1 763.38 m →
3 108 618 m²		 N 43.802819°
E  6.196289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517181396484375 y=0.364349365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517181396484375 × 214)
    floor (0.517181396484375 × 16384)
    floor (8473.5)     		tx = 8473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364349365234375 × 214)
    floor (0.364349365234375 × 16384)
    floor (5969.5)     		ty = 5969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8473 / 5969 ti = "14/8473/5969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8473/5969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8473 ÷ 214
    8473 ÷ 16384     		x = 0.51715087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5969 ÷ 214
    5969 ÷ 16384     		y = 0.36431884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51715087890625 × 2 - 1) × π
    0.0343017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10776215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36431884765625 × 2 - 1) × π
    0.2713623046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.852509822843079
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10776215} λ = 0.10776215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.852509822843079))-π/2
    2×atan(2.34552632617274)-π/2
    2×1.16778823843291-π/2
    2.33557647686582-1.57079632675     		φ = 0.76478015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10776215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.174316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76478015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.818675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8473 KachelY 5969 0.10776215 0.76478015 6.174316 43.818675
    Oben rechts KachelX + 1 8474 KachelY 5969 0.10814565 0.76478015 6.196289 43.818675
    Unten links KachelX 8473 KachelY + 1 5970 0.10776215 0.76450341 6.174316 43.802819
    Unten rechts KachelX + 1 8474 KachelY + 1 5970 0.10814565 0.76450341 6.196289 43.802819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76478015-0.76450341) × R
    0.000276739999999998 × 6371000     		dl = 1763.11053999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76478015-0.76450341) × R
    0.000276739999999998 × 6371000     		dr = 1763.11053999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10776215-0.10814565) × cos(0.76478015) × R
    0.000383499999999995 × 0.721534594260858 × 6371000     		do = 1762.90996116376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10776215-0.10814565) × cos(0.76450341) × R
    0.000383499999999995 × 0.721726175423558 × 6371000     		du = 1763.37804729958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76478015)-sin(0.76450341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721534594260858-0.721726175423558)×R²
    abs(0.10814565-0.10776215)×0.000191581162699683×R²
    0.000383499999999995×0.000191581162699683×6371000²
    0.000383499999999995×0.000191581162699683×40589641000000     		ar = 3108617.79723766m²