Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8472 / 9064
↖ ↑ ↗
← S 18.812718°
E  6.152344°		 ← 2 312.69 m → S 18.812718°
E  6.174316°		 →
↑
2 312.55 m
↓
↑
2 312.55 m
↓
S 18.833515°
E  6.152344°		 ← 2 312.41 m →
5 347 876 m²		 S 18.833515°
E  6.174316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517120361328125 y=0.553253173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517120361328125 × 214)
    floor (0.517120361328125 × 16384)
    floor (8472.5)     		tx = 8472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553253173828125 × 214)
    floor (0.553253173828125 × 16384)
    floor (9064.5)     		ty = 9064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8472 / 9064 ti = "14/8472/9064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8472/9064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8472 ÷ 214
    8472 ÷ 16384     		x = 0.51708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9064 ÷ 214
    9064 ÷ 16384     		y = 0.55322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51708984375 × 2 - 1) × π
    0.0341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10737866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55322265625 × 2 - 1) × π
    -0.1064453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.334407811749512
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10737866} λ = 0.10737866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.334407811749512))-π/2
    2×atan(0.715761826617044)-π/2
    2×0.621226229480449-π/2
    1.2424524589609-1.57079632675     		φ = -0.32834387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10737866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.152344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32834387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.812718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8472 KachelY 9064 0.10737866 -0.32834387 6.152344 -18.812718
    Oben rechts KachelX + 1 8473 KachelY 9064 0.10776215 -0.32834387 6.174316 -18.812718
    Unten links KachelX 8472 KachelY + 1 9065 0.10737866 -0.32870685 6.152344 -18.833515
    Unten rechts KachelX + 1 8473 KachelY + 1 9065 0.10776215 -0.32870685 6.174316 -18.833515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32834387--0.32870685) × R
    0.000362980000000013 × 6371000     		dl = 2312.54558000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32834387--0.32870685) × R
    0.000362980000000013 × 6371000     		dr = 2312.54558000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10737866-0.10776215) × cos(-0.32834387) × R
    0.00038349 × 0.946577703277318 × 6371000     		do = 2312.69264453138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10737866-0.10776215) × cos(-0.32870685) × R
    0.00038349 × 0.946460588650409 × 6371000     		du = 2312.40650834279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32834387)-sin(-0.32870685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946577703277318-0.946460588650409)×R²
    abs(0.10776215-0.10737866)×0.000117114626908554×R²
    0.00038349×0.000117114626908554×6371000²
    0.00038349×0.000117114626908554×40589641000000     		ar = 5347876.36023751m²