Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8472 / 8663
↖ ↑ ↗
← S 10.293301°
E  6.152344°		 ← 2 403.89 m → S 10.293301°
E  6.174316°		 →
↑
2 403.84 m
↓
↑
2 403.84 m
↓
S 10.314919°
E  6.152344°		 ← 2 403.73 m →
5 778 382 m²		 S 10.314919°
E  6.174316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517120361328125 y=0.528778076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517120361328125 × 214)
    floor (0.517120361328125 × 16384)
    floor (8472.5)     		tx = 8472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528778076171875 × 214)
    floor (0.528778076171875 × 16384)
    floor (8663.5)     		ty = 8663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8472 / 8663 ti = "14/8472/8663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8472/8663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8472 ÷ 214
    8472 ÷ 16384     		x = 0.51708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8663 ÷ 214
    8663 ÷ 16384     		y = 0.52874755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51708984375 × 2 - 1) × π
    0.0341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10737866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52874755859375 × 2 - 1) × π
    -0.0574951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.180626237768372
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10737866} λ = 0.10737866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.180626237768372))-π/2
    2×atan(0.834747297409429)-π/2
    2×0.695572166724624-π/2
    1.39114433344925-1.57079632675     		φ = -0.17965199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10737866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.152344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17965199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.293301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8472 KachelY 8663 0.10737866 -0.17965199 6.152344 -10.293301
    Oben rechts KachelX + 1 8473 KachelY 8663 0.10776215 -0.17965199 6.174316 -10.293301
    Unten links KachelX 8472 KachelY + 1 8664 0.10737866 -0.18002930 6.152344 -10.314919
    Unten rechts KachelX + 1 8473 KachelY + 1 8664 0.10776215 -0.18002930 6.174316 -10.314919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17965199--0.18002930) × R
    0.000377309999999992 × 6371000     		dl = 2403.84200999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17965199--0.18002930) × R
    0.000377309999999992 × 6371000     		dr = 2403.84200999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10737866-0.10776215) × cos(-0.17965199) × R
    0.00038349 × 0.983905937291585 × 6371000     		do = 2403.89353795961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10737866-0.10776215) × cos(-0.18002930) × R
    0.00038349 × 0.983838446799311 × 6371000     		du = 2403.72864419071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17965199)-sin(-0.18002930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983905937291585-0.983838446799311)×R²
    abs(0.10776215-0.10737866)×6.74904922743913e-05×R²
    0.00038349×6.74904922743913e-05×6371000²
    0.00038349×6.74904922743913e-05×40589641000000     		ar = 5778382.15338245m²