Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8471 / 5599
↖ ↑ ↗
← N 49.396675°
E  6.130371°		 ← 1 590.13 m → N 49.396675°
E  6.152344°		 →
↑
1 590.33 m
↓
↑
1 590.33 m
↓
N 49.382373°
E  6.130371°		 ← 1 590.59 m →
2 529 199 m²		 N 49.382373°
E  6.152344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517059326171875 y=0.341766357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517059326171875 × 214)
    floor (0.517059326171875 × 16384)
    floor (8471.5)     		tx = 8471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341766357421875 × 214)
    floor (0.341766357421875 × 16384)
    floor (5599.5)     		ty = 5599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8471 / 5599 ti = "14/8471/5599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8471/5599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8471 ÷ 214
    8471 ÷ 16384     		x = 0.51702880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5599 ÷ 214
    5599 ÷ 16384     		y = 0.34173583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51702880859375 × 2 - 1) × π
    0.0340576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10699516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34173583984375 × 2 - 1) × π
    0.3165283203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.994403045718445
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10699516} λ = 0.10699516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.994403045718445))-π/2
    2×atan(2.70311022632785)-π/2
    2×1.21646547318818-π/2
    2.43293094637635-1.57079632675     		φ = 0.86213462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10699516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.130371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86213462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.396675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8471 KachelY 5599 0.10699516 0.86213462 6.130371 49.396675
    Oben rechts KachelX + 1 8472 KachelY 5599 0.10737866 0.86213462 6.152344 49.396675
    Unten links KachelX 8471 KachelY + 1 5600 0.10699516 0.86188500 6.130371 49.382373
    Unten rechts KachelX + 1 8472 KachelY + 1 5600 0.10737866 0.86188500 6.152344 49.382373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86213462-0.86188500) × R
    0.00024961999999995 × 6371000     		dl = 1590.32901999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86213462-0.86188500) × R
    0.00024961999999995 × 6371000     		dr = 1590.32901999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10699516-0.10737866) × cos(0.86213462) × R
    0.000383499999999995 × 0.650818277052435 × 6371000     		do = 1590.13030372924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10699516-0.10737866) × cos(0.86188500) × R
    0.000383499999999995 × 0.651007776650759 × 6371000     		du = 1590.59330402358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86213462)-sin(0.86188500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650818277052435-0.651007776650759)×R²
    abs(0.10737866-0.10699516)×0.000189499598324039×R²
    0.000383499999999995×0.000189499598324039×6371000²
    0.000383499999999995×0.000189499598324039×40589641000000     		ar = 2529198.54213637m²