Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8470 / 5861
↖ ↑ ↗
← N 45.506347°
E  6.108398°		 ← 1 712.32 m → N 45.506347°
E  6.130371°		 →
↑
1 712.52 m
↓
↑
1 712.52 m
↓
N 45.490946°
E  6.108398°		 ← 1 712.79 m →
2 932 798 m²		 N 45.490946°
E  6.130371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516998291015625 y=0.357757568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516998291015625 × 214)
    floor (0.516998291015625 × 16384)
    floor (8470.5)     		tx = 8470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.357757568359375 × 214)
    floor (0.357757568359375 × 16384)
    floor (5861.5)     		ty = 5861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8470 / 5861 ti = "14/8470/5861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8470/5861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8470 ÷ 214
    8470 ÷ 16384     		x = 0.5169677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5861 ÷ 214
    5861 ÷ 16384     		y = 0.35772705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5169677734375 × 2 - 1) × π
    0.033935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10661166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35772705078125 × 2 - 1) × π
    0.2845458984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.893927304114807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10661166} λ = 0.10661166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.893927304114807))-π/2
    2×atan(2.44471194997378)-π/2
    2×1.18251595537781-π/2
    2.36503191075561-1.57079632675     		φ = 0.79423558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10661166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.108398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79423558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.506347°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8470 KachelY 5861 0.10661166 0.79423558 6.108398 45.506347
    Oben rechts KachelX + 1 8471 KachelY 5861 0.10699516 0.79423558 6.130371 45.506347
    Unten links KachelX 8470 KachelY + 1 5862 0.10661166 0.79396678 6.108398 45.490946
    Unten rechts KachelX + 1 8471 KachelY + 1 5862 0.10699516 0.79396678 6.130371 45.490946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79423558-0.79396678) × R
    0.000268800000000069 × 6371000     		dl = 1712.52480000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79423558-0.79396678) × R
    0.000268800000000069 × 6371000     		dr = 1712.52480000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10661166-0.10699516) × cos(0.79423558) × R
    0.000383500000000009 × 0.700830253003312 × 6371000     		do = 1712.32348931259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10661166-0.10699516) × cos(0.79396678) × R
    0.000383500000000009 × 0.701021970271482 × 6371000     		du = 1712.79190799199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79423558)-sin(0.79396678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700830253003312-0.701021970271482)×R²
    abs(0.10699516-0.10661166)×0.000191717268170355×R²
    0.000383500000000009×0.000191717268170355×6371000²
    0.000383500000000009×0.000191717268170355×40589641000000     		ar = 2932797.54803306m²