Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 847 / 203
↖ ↑ ↗
← N 80.788795°
W 31.113281°		 ← 3 128.81 m → N 80.788795°
W 30.937500°		 →
↑
3 133.58 m
↓
↑
3 133.58 m
↓
N 80.760615°
W 31.113281°		 ← 3 138.30 m →
9 819 222 m²		 N 80.760615°
W 30.937500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413818359375 y=0.099365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413818359375 × 211)
    floor (0.413818359375 × 2048)
    floor (847.5)     		tx = 847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.099365234375 × 211)
    floor (0.099365234375 × 2048)
    floor (203.5)     		ty = 203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 847 / 203 ti = "11/847/203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/847/203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 847 ÷ 211
    847 ÷ 2048     		x = 0.41357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 203 ÷ 211
    203 ÷ 2048     		y = 0.09912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41357421875 × 2 - 1) × π
    -0.1728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54302920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09912109375 × 2 - 1) × π
    0.8017578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.51879645363623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54302920} λ = -0.54302920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51879645363623))-π/2
    2×atan(12.4136472692055)-π/2
    2×1.49041340264838-π/2
    2.98082680529675-1.57079632675     		φ = 1.41003048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54302920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.113281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41003048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.788795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 847 KachelY 203 -0.54302920 1.41003048 -31.113281 80.788795
    Oben rechts KachelX + 1 848 KachelY 203 -0.53996124 1.41003048 -30.937500 80.788795
    Unten links KachelX 847 KachelY + 1 204 -0.54302920 1.40953863 -31.113281 80.760615
    Unten rechts KachelX + 1 848 KachelY + 1 204 -0.53996124 1.40953863 -30.937500 80.760615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41003048-1.40953863) × R
    0.000491850000000182 × 6371000     		dl = 3133.57635000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41003048-1.40953863) × R
    0.000491850000000182 × 6371000     		dr = 3133.57635000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54302920--0.53996124) × cos(1.41003048) × R
    0.00306795999999998 × 0.160074224669386 × 6371000     		do = 3128.80649899561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54302920--0.53996124) × cos(1.40953863) × R
    0.00306795999999998 × 0.160559712872195 × 6371000     		du = 3138.29583837722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41003048)-sin(1.40953863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160074224669386-0.160559712872195)×R²
    abs(-0.53996124--0.54302920)×0.000485488202809331×R²
    0.00306795999999998×0.000485488202809331×6371000²
    0.00306795999999998×0.000485488202809331×40589641000000     		ar = 9819222.03167563m²