Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8469 / 9111
↖ ↑ ↗
← S 19.787380°
E  6.086426°		 ← 2 298.96 m → S 19.787380°
E  6.108398°		 →
↑
2 298.85 m
↓
↑
2 298.85 m
↓
S 19.808054°
E  6.086426°		 ← 2 298.66 m →
5 284 607 m²		 S 19.808054°
E  6.108398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516937255859375 y=0.556121826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516937255859375 × 214)
    floor (0.516937255859375 × 16384)
    floor (8469.5)     		tx = 8469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.556121826171875 × 214)
    floor (0.556121826171875 × 16384)
    floor (9111.5)     		ty = 9111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8469 / 9111 ti = "14/8469/9111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8469/9111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8469 ÷ 214
    8469 ÷ 16384     		x = 0.51690673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9111 ÷ 214
    9111 ÷ 16384     		y = 0.55609130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51690673828125 × 2 - 1) × π
    0.0338134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10622817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55609130859375 × 2 - 1) × π
    -0.1121826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.352432086006653
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10622817} λ = 0.10622817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.352432086006653))-π/2
    2×atan(0.702976310118031)-π/2
    2×0.61272069614242-π/2
    1.22544139228484-1.57079632675     		φ = -0.34535493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10622817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.086426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34535493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.787380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8469 KachelY 9111 0.10622817 -0.34535493 6.086426 -19.787380
    Oben rechts KachelX + 1 8470 KachelY 9111 0.10661166 -0.34535493 6.108398 -19.787380
    Unten links KachelX 8469 KachelY + 1 9112 0.10622817 -0.34571576 6.086426 -19.808054
    Unten rechts KachelX + 1 8470 KachelY + 1 9112 0.10661166 -0.34571576 6.108398 -19.808054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34535493--0.34571576) × R
    0.000360829999999979 × 6371000     		dl = 2298.84792999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34535493--0.34571576) × R
    0.000360829999999979 × 6371000     		dr = 2298.84792999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10622817-0.10661166) × cos(-0.34535493) × R
    0.00038349 × 0.940955357186245 × 6371000     		do = 2298.95604540717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10622817-0.10661166) × cos(-0.34571576) × R
    0.00038349 × 0.940833143911184 × 6371000     		du = 2298.657452126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34535493)-sin(-0.34571576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940955357186245-0.940833143911184)×R²
    abs(0.10661166-0.10622817)×0.000122213275060679×R²
    0.00038349×0.000122213275060679×6371000²
    0.00038349×0.000122213275060679×40589641000000     		ar = 5284607.1932087m²