Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8469 / 5613
↖ ↑ ↗
← N 49.196064°
E  6.086426°		 ← 1 596.57 m → N 49.196064°
E  6.108398°		 →
↑
1 596.83 m
↓
↑
1 596.83 m
↓
N 49.181704°
E  6.086426°		 ← 1 597.04 m →
2 549 823 m²		 N 49.181704°
E  6.108398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516937255859375 y=0.342620849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516937255859375 × 214)
    floor (0.516937255859375 × 16384)
    floor (8469.5)     		tx = 8469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342620849609375 × 214)
    floor (0.342620849609375 × 16384)
    floor (5613.5)     		ty = 5613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8469 / 5613 ti = "14/8469/5613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8469/5613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8469 ÷ 214
    8469 ÷ 16384     		x = 0.51690673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5613 ÷ 214
    5613 ÷ 16384     		y = 0.34259033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51690673828125 × 2 - 1) × π
    0.0338134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10622817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34259033203125 × 2 - 1) × π
    0.3148193359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.989034112960999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10622817} λ = 0.10622817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.989034112960999))-π/2
    2×atan(2.68863629882657)-π/2
    2×1.21471481130545-π/2
    2.42942962261091-1.57079632675     		φ = 0.85863330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10622817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.086426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85863330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.196064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8469 KachelY 5613 0.10622817 0.85863330 6.086426 49.196064
    Oben rechts KachelX + 1 8470 KachelY 5613 0.10661166 0.85863330 6.108398 49.196064
    Unten links KachelX 8469 KachelY + 1 5614 0.10622817 0.85838266 6.086426 49.181704
    Unten rechts KachelX + 1 8470 KachelY + 1 5614 0.10661166 0.85838266 6.108398 49.181704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85863330-0.85838266) × R
    0.00025064000000008 × 6371000     		dl = 1596.82744000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85863330-0.85838266) × R
    0.00025064000000008 × 6371000     		dr = 1596.82744000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10622817-0.10661166) × cos(0.85863330) × R
    0.00038349 × 0.653472601938592 × 6371000     		do = 1596.57392591615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10622817-0.10661166) × cos(0.85838266) × R
    0.00038349 × 0.653662303401283 × 6371000     		du = 1597.03740733548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85863330)-sin(0.85838266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653472601938592-0.653662303401283)×R²
    abs(0.10661166-0.10622817)×0.000189701462691261×R²
    0.00038349×0.000189701462691261×6371000²
    0.00038349×0.000189701462691261×40589641000000     		ar = 2549823.11816484m²