Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 8469 / 24962
↖ ↑ ↗
← N 39.359786°
W133.478394°		 ← 472.30 m → N 39.359786°
W133.472900°		 →
↑
472.28 m
↓
↑
472.28 m
↓
N 39.355538°
W133.478394°		 ← 472.33 m →
223 064 m²		 N 39.355538°
W133.472900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129234313964844 y=0.380897521972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129234313964844 × 216)
    floor (0.129234313964844 × 65536)
    floor (8469.5)     		tx = 8469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380897521972656 × 216)
    floor (0.380897521972656 × 65536)
    floor (24962.5)     		ty = 24962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8469 / 24962 ti = "16/8469/24962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8469/24962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8469 ÷ 216
    8469 ÷ 65536     		x = 0.129226684570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24962 ÷ 216
    24962 ÷ 65536     		y = 0.380889892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129226684570312 × 2 - 1) × π
    -0.741546630859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.32963745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380889892578125 × 2 - 1) × π
    0.23822021484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.748390876868317
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32963745} λ = -2.32963745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.748390876868317))-π/2
    2×atan(2.11359624219669)-π/2
    2×1.12887708629748-π/2
    2.25775417259496-1.57079632675     		φ = 0.68695785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32963745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.478394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68695785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.359786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8469 KachelY 24962 -2.32963745 0.68695785 -133.478394 39.359786
    Oben rechts KachelX + 1 8470 KachelY 24962 -2.32954157 0.68695785 -133.472900 39.359786
    Unten links KachelX 8469 KachelY + 1 24963 -2.32963745 0.68688372 -133.478394 39.355538
    Unten rechts KachelX + 1 8470 KachelY + 1 24963 -2.32954157 0.68688372 -133.472900 39.355538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68695785-0.68688372) × R
    7.41300000000056e-05 × 6371000     		dl = 472.282230000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68695785-0.68688372) × R
    7.41300000000056e-05 × 6371000     		dr = 472.282230000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32963745--2.32954157) × cos(0.68695785) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.773178884785668 × 6371000     		do = 472.297466075765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32963745--2.32954157) × cos(0.68688372) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.773225895017234 × 6371000     		du = 472.326182345292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68695785)-sin(0.68688372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773178884785668-0.773225895017234)×R²
    abs(-2.32954157--2.32963745)×4.70102315665022e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.70102315665022e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.70102315665022e-05×40589641000000     		ar = 223064.481695507m²