Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8468 / 25418
↖ ↑ ↗
← S 69.937839°
W 86.967773°		 ← 419.07 m → S 69.937839°
W 86.956787°		 →
↑
419.02 m
↓
↑
419.02 m
↓
S 69.941607°
W 86.967773°		 ← 418.99 m →
175 583 m²		 S 69.941607°
W 86.956787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.258438110351562 y=0.775711059570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.258438110351562 × 215)
    floor (0.258438110351562 × 32768)
    floor (8468.5)     		tx = 8468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775711059570312 × 215)
    floor (0.775711059570312 × 32768)
    floor (25418.5)     		ty = 25418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8468 / 25418 ti = "15/8468/25418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8468/25418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8468 ÷ 215
    8468 ÷ 32768     		x = 0.2584228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25418 ÷ 215
    25418 ÷ 32768     		y = 0.77569580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2584228515625 × 2 - 1) × π
    -0.483154296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.51787399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77569580078125 × 2 - 1) × π
    -0.5513916015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73224780467035
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.51787399} λ = -1.51787399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73224780467035))-π/2
    2×atan(0.176886356785672)-π/2
    2×0.175075382079969-π/2
    0.350150764159939-1.57079632675     		φ = -1.22064556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.51787399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.967773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22064556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.937839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8468 KachelY 25418 -1.51787399 -1.22064556 -86.967773 -69.937839
    Oben rechts KachelX + 1 8469 KachelY 25418 -1.51768224 -1.22064556 -86.956787 -69.937839
    Unten links KachelX 8468 KachelY + 1 25419 -1.51787399 -1.22071133 -86.967773 -69.941607
    Unten rechts KachelX + 1 8469 KachelY + 1 25419 -1.51768224 -1.22071133 -86.956787 -69.941607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22064556--1.22071133) × R
    6.57700000001871e-05 × 6371000     		dl = 419.020670001192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22064556--1.22071133) × R
    6.57700000001871e-05 × 6371000     		dr = 419.020670001192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.51787399--1.51768224) × cos(-1.22064556) × R
    0.000191749999999935 × 0.343039429770903 × 6371000     		do = 419.070431705612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.51787399--1.51768224) × cos(-1.22071133) × R
    0.000191749999999935 × 0.342977649886536 × 6371000     		du = 418.994958974008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22064556)-sin(-1.22071133))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343039429770903-0.342977649886536)×R²
    abs(-1.51768224--1.51787399)×6.17798843676742e-05×R²
    0.000191749999999935×6.17798843676742e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.17798843676742e-05×40589641000000     		ar = 175583.360817136m²