Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8467 / 5615
↖ ↑ ↗
← N 49.167338°
E  6.042481°		 ← 1 597.50 m → N 49.167338°
E  6.064453°		 →
↑
1 597.72 m
↓
↑
1 597.72 m
↓
N 49.152970°
E  6.042481°		 ← 1 597.96 m →
2 552 729 m²		 N 49.152970°
E  6.064453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516815185546875 y=0.342742919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516815185546875 × 214)
    floor (0.516815185546875 × 16384)
    floor (8467.5)     		tx = 8467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342742919921875 × 214)
    floor (0.342742919921875 × 16384)
    floor (5615.5)     		ty = 5615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8467 / 5615 ti = "14/8467/5615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8467/5615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8467 ÷ 214
    8467 ÷ 16384     		x = 0.51678466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5615 ÷ 214
    5615 ÷ 16384     		y = 0.34271240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51678466796875 × 2 - 1) × π
    0.0335693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10546118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34271240234375 × 2 - 1) × π
    0.3145751953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.988267122567078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10546118} λ = 0.10546118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.988267122567078))-π/2
    2×atan(2.68657493123824)-π/2
    2×1.21446413494956-π/2
    2.42892826989913-1.57079632675     		φ = 0.85813194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10546118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.042481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85813194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.167338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8467 KachelY 5615 0.10546118 0.85813194 6.042481 49.167338
    Oben rechts KachelX + 1 8468 KachelY 5615 0.10584467 0.85813194 6.064453 49.167338
    Unten links KachelX 8467 KachelY + 1 5616 0.10546118 0.85788116 6.042481 49.152970
    Unten rechts KachelX + 1 8468 KachelY + 1 5616 0.10584467 0.85788116 6.064453 49.152970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85813194-0.85788116) × R
    0.000250780000000006 × 6371000     		dl = 1597.71938000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85813194-0.85788116) × R
    0.000250780000000006 × 6371000     		dr = 1597.71938000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10546118-0.10584467) × cos(0.85813194) × R
    0.00038349 × 0.653852024330439 × 6371000     		do = 1597.50093631557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10546118-0.10584467) × cos(0.85788116) × R
    0.00038349 × 0.654041749545626 × 6371000     		du = 1597.96447576735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85813194)-sin(0.85788116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653852024330439-0.654041749545626)×R²
    abs(0.10584467-0.10546118)×0.000189725215187009×R²
    0.00038349×0.000189725215187009×6371000²
    0.00038349×0.000189725215187009×40589641000000     		ar = 2552728.52188158m²