Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8467 / 24778
↖ ↑ ↗
← N 40.136890°
W133.489380°		 ← 467 m → N 40.136890°
W133.483887°		 →
↑
466.93 m
↓
↑
466.93 m
↓
N 40.132691°
W133.489380°		 ← 467.03 m →
218 063 m²		 N 40.132691°
W133.483887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129203796386719 y=0.378089904785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129203796386719 × 216)
    floor (0.129203796386719 × 65536)
    floor (8467.5)     		tx = 8467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378089904785156 × 216)
    floor (0.378089904785156 × 65536)
    floor (24778.5)     		ty = 24778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8467 / 24778 ti = "16/8467/24778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8467/24778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8467 ÷ 216
    8467 ÷ 65536     		x = 0.129196166992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24778 ÷ 216
    24778 ÷ 65536     		y = 0.378082275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129196166992188 × 2 - 1) × π
    -0.741607666015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.32982920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378082275390625 × 2 - 1) × π
    0.24383544921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.766031655928497
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32982920} λ = -2.32982920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.766031655928497))-π/2
    2×atan(2.15121254143786)-π/2
    2×1.13565861046251-π/2
    2.27131722092502-1.57079632675     		φ = 0.70052089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32982920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.489380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70052089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.136890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8467 KachelY 24778 -2.32982920 0.70052089 -133.489380 40.136890
    Oben rechts KachelX + 1 8468 KachelY 24778 -2.32973332 0.70052089 -133.483887 40.136890
    Unten links KachelX 8467 KachelY + 1 24779 -2.32982920 0.70044760 -133.489380 40.132691
    Unten rechts KachelX + 1 8468 KachelY + 1 24779 -2.32973332 0.70044760 -133.483887 40.132691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70052089-0.70044760) × R
    7.32900000000036e-05 × 6371000     		dl = 466.930590000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70052089-0.70044760) × R
    7.32900000000036e-05 × 6371000     		dr = 466.930590000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32982920--2.32973332) × cos(0.70052089) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.764506516987625 × 6371000     		do = 466.999937371229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32982920--2.32973332) × cos(0.70044760) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.764553758840866 × 6371000     		du = 467.0287951272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70052089)-sin(0.70044760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764506516987625-0.764553758840866)×R²
    abs(-2.32973332--2.32982920)×4.72418532412311e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.72418532412311e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.72418532412311e-05×40589641000000     		ar = 218063.29366871m²