Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8466 / 8591
↖ ↑ ↗
← S  8.733077°
E  6.020508°		 ← 2 414.95 m → S  8.733077°
E  6.042481°		 →
↑
2 414.86 m
↓
↑
2 414.86 m
↓
S  8.754795°
E  6.020508°		 ← 2 414.81 m →
5 831 611 m²		 S  8.754795°
E  6.042481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516754150390625 y=0.524383544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516754150390625 × 214)
    floor (0.516754150390625 × 16384)
    floor (8466.5)     		tx = 8466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524383544921875 × 214)
    floor (0.524383544921875 × 16384)
    floor (8591.5)     		ty = 8591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8466 / 8591 ti = "14/8466/8591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8466/8591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8466 ÷ 214
    8466 ÷ 16384     		x = 0.5167236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8591 ÷ 214
    8591 ÷ 16384     		y = 0.52435302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5167236328125 × 2 - 1) × π
    0.033447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10507768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52435302734375 × 2 - 1) × π
    -0.0487060546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.153014583587219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10507768} λ = 0.10507768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.153014583587219))-π/2
    2×atan(0.858117207293004)-π/2
    2×0.709187685983751-π/2
    1.4183753719675-1.57079632675     		φ = -0.15242095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10507768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.020508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15242095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.733077°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8466 KachelY 8591 0.10507768 -0.15242095 6.020508 -8.733077
    Oben rechts KachelX + 1 8467 KachelY 8591 0.10546118 -0.15242095 6.042481 -8.733077
    Unten links KachelX 8466 KachelY + 1 8592 0.10507768 -0.15279999 6.020508 -8.754795
    Unten rechts KachelX + 1 8467 KachelY + 1 8592 0.10546118 -0.15279999 6.042481 -8.754795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15242095--0.15279999) × R
    0.000379039999999997 × 6371000     		dl = 2414.86383999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15242095--0.15279999) × R
    0.000379039999999997 × 6371000     		dr = 2414.86383999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10507768-0.10546118) × cos(-0.15242095) × R
    0.000383499999999995 × 0.988406398450945 × 6371000     		do = 2414.9521025976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10507768-0.10546118) × cos(-0.15279999) × R
    0.000383499999999995 × 0.988348777253828 × 6371000     		du = 2414.81131796554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15242095)-sin(-0.15279999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988406398450945-0.988348777253828)×R²
    abs(0.10546118-0.10507768)×5.76211971169416e-05×R²
    0.000383499999999995×5.76211971169416e-05×6371000²
    0.000383499999999995×5.76211971169416e-05×40589641000000     		ar = 5831610.58985593m²