Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8466 / 5622
↖ ↑ ↗
← N 49.066669°
E  6.020508°		 ← 1 600.79 m → N 49.066669°
E  6.042481°		 →
↑
1 601.03 m
↓
↑
1 601.03 m
↓
N 49.052270°
E  6.020508°		 ← 1 601.25 m →
2 563 285 m²		 N 49.052270°
E  6.042481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516754150390625 y=0.343170166015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516754150390625 × 214)
    floor (0.516754150390625 × 16384)
    floor (8466.5)     		tx = 8466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343170166015625 × 214)
    floor (0.343170166015625 × 16384)
    floor (5622.5)     		ty = 5622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8466 / 5622 ti = "14/8466/5622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8466/5622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8466 ÷ 214
    8466 ÷ 16384     		x = 0.5167236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5622 ÷ 214
    5622 ÷ 16384     		y = 0.3431396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5167236328125 × 2 - 1) × π
    0.033447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10507768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3431396484375 × 2 - 1) × π
    0.313720703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.985582656188355
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10507768} λ = 0.10507768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.985582656188355))-π/2
    2×atan(2.67937258271786)-π/2
    2×1.21358562163179-π/2
    2.42717124326358-1.57079632675     		φ = 0.85637492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10507768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.020508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85637492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.066669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8466 KachelY 5622 0.10507768 0.85637492 6.020508 49.066669
    Oben rechts KachelX + 1 8467 KachelY 5622 0.10546118 0.85637492 6.042481 49.066669
    Unten links KachelX 8466 KachelY + 1 5623 0.10507768 0.85612362 6.020508 49.052270
    Unten rechts KachelX + 1 8467 KachelY + 1 5623 0.10546118 0.85612362 6.042481 49.052270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85637492-0.85612362) × R
    0.000251300000000065 × 6371000     		dl = 1601.03230000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85637492-0.85612362) × R
    0.000251300000000065 × 6371000     		dr = 1601.03230000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10507768-0.10546118) × cos(0.85637492) × R
    0.000383499999999995 × 0.655180415162382 × 6371000     		do = 1600.7882219873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10507768-0.10546118) × cos(0.85612362) × R
    0.000383499999999995 × 0.65537024469934 × 6371000     		du = 1601.25202841362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85637492)-sin(0.85612362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655180415162382-0.65537024469934)×R²
    abs(0.10546118-0.10507768)×0.000189829536957786×R²
    0.000383499999999995×0.000189829536957786×6371000²
    0.000383499999999995×0.000189829536957786×40589641000000     		ar = 2563284.94688573m²