Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8462 / 8623
↖ ↑ ↗
← S  9.427387°
E  5.932617°		 ← 2 410.28 m → S  9.427387°
E  5.954590°		 →
↑
2 410.15 m
↓
↑
2 410.15 m
↓
S  9.449062°
E  5.932617°		 ← 2 410.13 m →
5 808 951 m²		 S  9.449062°
E  5.954590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516510009765625 y=0.526336669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516510009765625 × 214)
    floor (0.516510009765625 × 16384)
    floor (8462.5)     		tx = 8462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526336669921875 × 214)
    floor (0.526336669921875 × 16384)
    floor (8623.5)     		ty = 8623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8462 / 8623 ti = "14/8462/8623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8462/8623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8462 ÷ 214
    8462 ÷ 16384     		x = 0.5164794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8623 ÷ 214
    8623 ÷ 16384     		y = 0.52630615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5164794921875 × 2 - 1) × π
    0.032958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10354370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52630615234375 × 2 - 1) × π
    -0.0526123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.165286429889954
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10354370} λ = 0.10354370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.165286429889954))-π/2
    2×atan(0.847650876765723)-π/2
    2×0.7031286952544-π/2
    1.4062573905088-1.57079632675     		φ = -0.16453894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10354370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.932617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16453894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.427387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8462 KachelY 8623 0.10354370 -0.16453894 5.932617 -9.427387
    Oben rechts KachelX + 1 8463 KachelY 8623 0.10392720 -0.16453894 5.954590 -9.427387
    Unten links KachelX 8462 KachelY + 1 8624 0.10354370 -0.16491724 5.932617 -9.449062
    Unten rechts KachelX + 1 8463 KachelY + 1 8624 0.10392720 -0.16491724 5.954590 -9.449062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16453894--0.16491724) × R
    0.000378299999999998 × 6371000     		dl = 2410.14929999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16453894--0.16491724) × R
    0.000378299999999998 × 6371000     		dr = 2410.14929999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10354370-0.10392720) × cos(-0.16453894) × R
    0.000383499999999995 × 0.986493980678799 × 6371000     		do = 2410.27953337189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10354370-0.10392720) × cos(-0.16491724) × R
    0.000383499999999995 × 0.986431945491148 × 6371000     		du = 2410.12796413166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16453894)-sin(-0.16491724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986493980678799-0.986431945491148)×R²
    abs(0.10392720-0.10354370)×6.20351876512437e-05×R²
    0.000383499999999995×6.20351876512437e-05×6371000²
    0.000383499999999995×6.20351876512437e-05×40589641000000     		ar = 5808950.94718884m²