Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8462 / 25426
↖ ↑ ↗
← S 69.967967°
W 87.033692°		 ← 418.47 m → S 69.967967°
W 87.022705°		 →
↑
418.45 m
↓
↑
418.45 m
↓
S 69.971730°
W 87.033692°		 ← 418.39 m →
175 091 m²		 S 69.971730°
W 87.022705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.258255004882812 y=0.775955200195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.258255004882812 × 215)
    floor (0.258255004882812 × 32768)
    floor (8462.5)     		tx = 8462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775955200195312 × 215)
    floor (0.775955200195312 × 32768)
    floor (25426.5)     		ty = 25426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8462 / 25426 ti = "15/8462/25426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8462/25426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8462 ÷ 215
    8462 ÷ 32768     		x = 0.25823974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25426 ÷ 215
    25426 ÷ 32768     		y = 0.77593994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.25823974609375 × 2 - 1) × π
    -0.4835205078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.51902448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77593994140625 × 2 - 1) × π
    -0.5518798828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73378178545819
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.51902448} λ = -1.51902448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73378178545819))-π/2
    2×atan(0.17661522452174)-π/2
    2×0.174812463611776-π/2
    0.349624927223552-1.57079632675     		φ = -1.22117140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.51902448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.033692°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22117140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.967967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8462 KachelY 25426 -1.51902448 -1.22117140 -87.033692 -69.967967
    Oben rechts KachelX + 1 8463 KachelY 25426 -1.51883273 -1.22117140 -87.022705 -69.967967
    Unten links KachelX 8462 KachelY + 1 25427 -1.51902448 -1.22123708 -87.033692 -69.971730
    Unten rechts KachelX + 1 8463 KachelY + 1 25427 -1.51883273 -1.22123708 -87.022705 -69.971730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22117140--1.22123708) × R
    6.56800000000679e-05 × 6371000     		dl = 418.447280000433m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22117140--1.22123708) × R
    6.56800000000679e-05 × 6371000     		dr = 418.447280000433m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.51902448--1.51883273) × cos(-1.22117140) × R
    0.000191749999999935 × 0.342545449810102 × 6371000     		do = 418.466966396784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.51902448--1.51883273) × cos(-1.22123708) × R
    0.000191749999999935 × 0.342483742628638 × 6371000     		du = 418.391582481901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22117140)-sin(-1.22123708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342545449810102-0.342483742628638)×R²
    abs(-1.51883273--1.51902448)×6.17071814640879e-05×R²
    0.000191749999999935×6.17071814640879e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.17071814640879e-05×40589641000000     		ar = 175090.591824531m²