Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8461 / 5627
↖ ↑ ↗
← N 48.994636°
E  5.910645°		 ← 1 603.07 m → N 48.994636°
E  5.932617°		 →
↑
1 603.33 m
↓
↑
1 603.33 m
↓
N 48.980217°
E  5.910645°		 ← 1 603.53 m →
2 570 609 m²		 N 48.980217°
E  5.932617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516448974609375 y=0.343475341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516448974609375 × 214)
    floor (0.516448974609375 × 16384)
    floor (8461.5)     		tx = 8461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343475341796875 × 214)
    floor (0.343475341796875 × 16384)
    floor (5627.5)     		ty = 5627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8461 / 5627 ti = "14/8461/5627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8461/5627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8461 ÷ 214
    8461 ÷ 16384     		x = 0.51641845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5627 ÷ 214
    5627 ÷ 16384     		y = 0.34344482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51641845703125 × 2 - 1) × π
    0.0328369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10316021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34344482421875 × 2 - 1) × π
    0.3131103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.983665180203552
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10316021} λ = 0.10316021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.983665180203552))-π/2
    2×atan(2.67423987263295)-π/2
    2×1.2129570202526-π/2
    2.42591404050521-1.57079632675     		φ = 0.85511771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10316021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.910645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85511771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.994636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8461 KachelY 5627 0.10316021 0.85511771 5.910645 48.994636
    Oben rechts KachelX + 1 8462 KachelY 5627 0.10354370 0.85511771 5.932617 48.994636
    Unten links KachelX 8461 KachelY + 1 5628 0.10316021 0.85486605 5.910645 48.980217
    Unten rechts KachelX + 1 8462 KachelY + 1 5628 0.10354370 0.85486605 5.932617 48.980217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85511771-0.85486605) × R
    0.000251659999999987 × 6371000     		dl = 1603.32585999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85511771-0.85486605) × R
    0.000251659999999987 × 6371000     		dr = 1603.32585999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10316021-0.10354370) × cos(0.85511771) × R
    0.00038349 × 0.656129684650302 × 6371000     		do = 1603.06574969565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10316021-0.10354370) × cos(0.85486605) × R
    0.00038349 × 0.65631957862558 × 6371000     		du = 1603.52970146459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85511771)-sin(0.85486605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656129684650302-0.65631957862558)×R²
    abs(0.10354370-0.10316021)×0.000189893975278244×R²
    0.00038349×0.000189893975278244×6371000²
    0.00038349×0.000189893975278244×40589641000000     		ar = 2570608.71826837m²