Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8460 / 5612
↖ ↑ ↗
← N 49.210420°
E  5.888672°		 ← 1 596.15 m → N 49.210420°
E  5.910645°		 →
↑
1 596.32 m
↓
↑
1 596.32 m
↓
N 49.196064°
E  5.888672°		 ← 1 596.62 m →
2 548 336 m²		 N 49.196064°
E  5.910645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516387939453125 y=0.342559814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516387939453125 × 214)
    floor (0.516387939453125 × 16384)
    floor (8460.5)     		tx = 8460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342559814453125 × 214)
    floor (0.342559814453125 × 16384)
    floor (5612.5)     		ty = 5612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8460 / 5612 ti = "14/8460/5612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8460/5612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8460 ÷ 214
    8460 ÷ 16384     		x = 0.516357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5612 ÷ 214
    5612 ÷ 16384     		y = 0.342529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516357421875 × 2 - 1) × π
    0.03271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10277671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342529296875 × 2 - 1) × π
    0.31494140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.989417608157959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10277671} λ = 0.10277671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.989417608157959))-π/2
    2×atan(2.68966757566576)-π/2
    2×1.21484009492188-π/2
    2.42968018984375-1.57079632675     		φ = 0.85888386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10277671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.888672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85888386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.210420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8460 KachelY 5612 0.10277671 0.85888386 5.888672 49.210420
    Oben rechts KachelX + 1 8461 KachelY 5612 0.10316021 0.85888386 5.910645 49.210420
    Unten links KachelX 8460 KachelY + 1 5613 0.10277671 0.85863330 5.888672 49.196064
    Unten rechts KachelX + 1 8461 KachelY + 1 5613 0.10316021 0.85863330 5.910645 49.196064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85888386-0.85863330) × R
    0.000250560000000011 × 6371000     		dl = 1596.31776000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85888386-0.85863330) × R
    0.000250560000000011 × 6371000     		dr = 1596.31776000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10277671-0.10316021) × cos(0.85888386) × R
    0.000383500000000009 × 0.653282919993597 × 6371000     		do = 1596.15211283761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10277671-0.10316021) × cos(0.85863330) × R
    0.000383500000000009 × 0.653472601938592 × 6371000     		du = 1596.61555865566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85888386)-sin(0.85863330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653282919993597-0.653472601938592)×R²
    abs(0.10316021-0.10277671)×0.000189681944995024×R²
    0.000383500000000009×0.000189681944995024×6371000²
    0.000383500000000009×0.000189681944995024×40589641000000     		ar = 2548335.8821118m²