Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8460 / 25422
↖ ↑ ↗
← S 69.952909°
W 87.055664°		 ← 418.77 m → S 69.952909°
W 87.044678°		 →
↑
418.70 m
↓
↑
418.70 m
↓
S 69.956674°
W 87.055664°		 ← 418.69 m →
175 324 m²		 S 69.956674°
W 87.044678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.258193969726562 y=0.775833129882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.258193969726562 × 215)
    floor (0.258193969726562 × 32768)
    floor (8460.5)     		tx = 8460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775833129882812 × 215)
    floor (0.775833129882812 × 32768)
    floor (25422.5)     		ty = 25422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8460 / 25422 ti = "15/8460/25422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8460/25422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8460 ÷ 215
    8460 ÷ 32768     		x = 0.2581787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25422 ÷ 215
    25422 ÷ 32768     		y = 0.77581787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2581787109375 × 2 - 1) × π
    -0.483642578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.51940797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77581787109375 × 2 - 1) × π
    -0.5516357421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.73301479506427
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.51940797} λ = -1.51940797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73301479506427))-π/2
    2×atan(0.176750738664748)-π/2
    2×0.174943875486414-π/2
    0.349887750972827-1.57079632675     		φ = -1.22090858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.51940797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.055664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22090858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.952909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8460 KachelY 25422 -1.51940797 -1.22090858 -87.055664 -69.952909
    Oben rechts KachelX + 1 8461 KachelY 25422 -1.51921622 -1.22090858 -87.044678 -69.952909
    Unten links KachelX 8460 KachelY + 1 25423 -1.51940797 -1.22097430 -87.055664 -69.956674
    Unten rechts KachelX + 1 8461 KachelY + 1 25423 -1.51921622 -1.22097430 -87.044678 -69.956674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22090858--1.22097430) × R
    6.57200000000469e-05 × 6371000     		dl = 418.702120000299m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22090858--1.22097430) × R
    6.57200000000469e-05 × 6371000     		dr = 418.702120000299m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.51940797--1.51921622) × cos(-1.22090858) × R
    0.000191750000000157 × 0.342792357697479 × 6371000     		do = 418.768598763623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.51940797--1.51921622) × cos(-1.22097430) × R
    0.000191750000000157 × 0.34273061885329 × 6371000     		du = 418.693176168312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22090858)-sin(-1.22097430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342792357697479-0.34273061885329)×R²
    abs(-1.51921622--1.51940797)×6.17388441886968e-05×R²
    0.000191750000000157×6.17388441886968e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.17388441886968e-05×40589641000000     		ar = 175323.510355187m²