Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 846 / 781
↖ ↑ ↗
← S 68.269387°
E117.421875°		 ← 14.474 km → S 68.269387°
E117.773438°		 →
↑
14.432 km
↓
↑
14.432 km
↓
S 68.399180°
E117.421875°		 ← 14.391 km →
208.294 km²		 S 68.399180°
E117.773438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82666015625 y=0.76318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82666015625 × 210)
    floor (0.82666015625 × 1024)
    floor (846.5)     		tx = 846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76318359375 × 210)
    floor (0.76318359375 × 1024)
    floor (781.5)     		ty = 781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 846 / 781 ti = "10/846/781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/846/781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 846 ÷ 210
    846 ÷ 1024     		x = 0.826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 781 ÷ 210
    781 ÷ 1024     		y = 0.7626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826171875 × 2 - 1) × π
    0.65234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.04939833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7626953125 × 2 - 1) × π
    -0.525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65056332771777
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04939833} λ = 2.04939833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65056332771777))-π/2
    2×atan(0.191941752050689)-π/2
    2×0.189635374377561-π/2
    0.379270748755122-1.57079632675     		φ = -1.19152558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04939833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.421875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19152558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.269387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 846 KachelY 781 2.04939833 -1.19152558 117.421875 -68.269387
    Oben rechts KachelX + 1 847 KachelY 781 2.05553426 -1.19152558 117.773438 -68.269387
    Unten links KachelX 846 KachelY + 1 782 2.04939833 -1.19379090 117.421875 -68.399180
    Unten rechts KachelX + 1 847 KachelY + 1 782 2.05553426 -1.19379090 117.773438 -68.399180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19152558--1.19379090) × R
    0.00226532000000002 × 6371000     		dl = 14432.3537200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19152558--1.19379090) × R
    0.00226532000000002 × 6371000     		dr = 14432.3537200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04939833-2.05553426) × cos(-1.19152558) × R
    0.00613593000000012 × 0.370243139181402 × 6371000     		do = 14473.5485104183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04939833-2.05553426) × cos(-1.19379090) × R
    0.00613593000000012 × 0.368137856227506 × 6371000     		du = 14391.2487680687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19152558)-sin(-1.19379090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370243139181402-0.368137856227506)×R²
    abs(2.05553426-2.04939833)×0.00210528295389556×R²
    0.00613593000000012×0.00210528295389556×6371000²
    0.00613593000000012×0.00210528295389556×40589641000000     		ar = 208293571.264198m²