Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 846 / 195
↖ ↑ ↗
← N 81.011194°
W 31.289062°		 ← 3 053.89 m → N 81.011194°
W 31.113281°		 →
↑
3 058.53 m
↓
↑
3 058.53 m
↓
N 80.983688°
W 31.289062°		 ← 3 063.16 m →
9 354 581 m²		 N 80.983688°
W 31.113281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413330078125 y=0.095458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413330078125 × 211)
    floor (0.413330078125 × 2048)
    floor (846.5)     		tx = 846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.095458984375 × 211)
    floor (0.095458984375 × 2048)
    floor (195.5)     		ty = 195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 846 / 195 ti = "11/846/195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/846/195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 846 ÷ 211
    846 ÷ 2048     		x = 0.4130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 195 ÷ 211
    195 ÷ 2048     		y = 0.09521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4130859375 × 2 - 1) × π
    -0.173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54609716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09521484375 × 2 - 1) × π
    0.8095703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.5433401462417
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54609716} λ = -0.54609716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5433401462417))-π/2
    2×atan(12.7220937358516)-π/2
    2×1.49235419902427-π/2
    2.98470839804853-1.57079632675     		φ = 1.41391207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54609716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.289062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41391207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.011194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 846 KachelY 195 -0.54609716 1.41391207 -31.289062 81.011194
    Oben rechts KachelX + 1 847 KachelY 195 -0.54302920 1.41391207 -31.113281 81.011194
    Unten links KachelX 846 KachelY + 1 196 -0.54609716 1.41343200 -31.289062 80.983688
    Unten rechts KachelX + 1 847 KachelY + 1 196 -0.54302920 1.41343200 -31.113281 80.983688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41391207-1.41343200) × R
    0.000480070000000055 × 6371000     		dl = 3058.52597000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41391207-1.41343200) × R
    0.000480070000000055 × 6371000     		dr = 3058.52597000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54609716--0.54302920) × cos(1.41391207) × R
    0.00306795999999998 × 0.156241491572525 × 6371000     		do = 3053.89200075492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54609716--0.54302920) × cos(1.41343200) × R
    0.00306795999999998 × 0.156715647755291 × 6371000     		du = 3063.15984477692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41391207)-sin(1.41343200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156241491572525-0.156715647755291)×R²
    abs(-0.54302920--0.54609716)×0.000474156182766527×R²
    0.00306795999999998×0.000474156182766527×6371000²
    0.00306795999999998×0.000474156182766527×40589641000000     		ar = 9354581.14436366m²