Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8459 / 7433
↖ ↑ ↗
← N 79.927275°
W133.533325°		 ← 106.84 m → N 79.927275°
W133.527832°		 →
↑
106.78 m
↓
↑
106.78 m
↓
N 79.926315°
W133.533325°		 ← 106.85 m →
11 408 m²		 N 79.926315°
W133.527832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129081726074219 y=0.113426208496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129081726074219 × 216)
    floor (0.129081726074219 × 65536)
    floor (8459.5)     		tx = 8459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113426208496094 × 216)
    floor (0.113426208496094 × 65536)
    floor (7433.5)     		ty = 7433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8459 / 7433 ti = "16/8459/7433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8459/7433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8459 ÷ 216
    8459 ÷ 65536     		x = 0.129074096679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7433 ÷ 216
    7433 ÷ 65536     		y = 0.113418579101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129074096679688 × 2 - 1) × π
    -0.741851806640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.33059619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113418579101562 × 2 - 1) × π
    0.773162841796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.42896270374825
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33059619} λ = -2.33059619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42896270374825))-π/2
    2×atan(11.3471056630683)-π/2
    2×1.48289522080783-π/2
    2.96579044161566-1.57079632675     		φ = 1.39499411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33059619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.533325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39499411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.927275°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8459 KachelY 7433 -2.33059619 1.39499411 -133.533325 79.927275
    Oben rechts KachelX + 1 8460 KachelY 7433 -2.33050031 1.39499411 -133.527832 79.927275
    Unten links KachelX 8459 KachelY + 1 7434 -2.33059619 1.39497735 -133.533325 79.926315
    Unten rechts KachelX + 1 8460 KachelY + 1 7434 -2.33050031 1.39497735 -133.527832 79.926315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39499411-1.39497735) × R
    1.67600000000601e-05 × 6371000     		dl = 106.777960000383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39499411-1.39497735) × R
    1.67600000000601e-05 × 6371000     		dr = 106.777960000383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33059619--2.33050031) × cos(1.39499411) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.174898045652957 × 6371000     		do = 106.836730036146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33059619--2.33050031) × cos(1.39497735) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.174914547298963 × 6371000     		du = 106.846810091032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39499411)-sin(1.39497735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174898045652957-0.174914547298963)×R²
    abs(-2.33050031--2.33059619)×1.65016460061396e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.65016460061396e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.65016460061396e-05×40589641000000     		ar = 11408.3462504522m²