Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8457 / 7440
↖ ↑ ↗
← N 79.920548°
W133.544311°		 ← 106.90 m → N 79.920548°
W133.538818°		 →
↑
106.91 m
↓
↑
106.91 m
↓
N 79.919586°
W133.544311°		 ← 106.91 m →
11 428 m²		 N 79.919586°
W133.538818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129051208496094 y=0.113533020019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129051208496094 × 216)
    floor (0.129051208496094 × 65536)
    floor (8457.5)     		tx = 8457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113533020019531 × 216)
    floor (0.113533020019531 × 65536)
    floor (7440.5)     		ty = 7440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8457 / 7440 ti = "16/8457/7440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8457/7440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8457 ÷ 216
    8457 ÷ 65536     		x = 0.129043579101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7440 ÷ 216
    7440 ÷ 65536     		y = 0.113525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129043579101562 × 2 - 1) × π
    -0.741912841796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33078793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113525390625 × 2 - 1) × π
    0.77294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.42829158715356
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33078793} λ = -2.33078793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42829158715356))-π/2
    2×atan(11.3394929869385)-π/2
    2×1.48283651292501-π/2
    2.96567302585002-1.57079632675     		φ = 1.39487670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33078793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.544311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39487670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.920548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8457 KachelY 7440 -2.33078793 1.39487670 -133.544311 79.920548
    Oben rechts KachelX + 1 8458 KachelY 7440 -2.33069206 1.39487670 -133.538818 79.920548
    Unten links KachelX 8457 KachelY + 1 7441 -2.33078793 1.39485992 -133.544311 79.919586
    Unten rechts KachelX + 1 8458 KachelY + 1 7441 -2.33069206 1.39485992 -133.538818 79.919586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39487670-1.39485992) × R
    1.67799999999385e-05 × 6371000     		dl = 106.905379999608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39487670-1.39485992) × R
    1.67799999999385e-05 × 6371000     		dr = 106.905379999608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33078793--2.33069206) × cos(1.39487670) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.175013644753984 × 6371000     		do = 106.896193798856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33078793--2.33069206) × cos(1.39485992) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.175030165746959 × 6371000     		du = 106.906284619313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39487670)-sin(1.39485992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175013644753984-0.175030165746959)×R²
    abs(-2.33069206--2.33078793)×1.65209929746113e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.65209929746113e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.65209929746113e-05×40589641000000     		ar = 11428.317600246m²