Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8457 / 25425
↖ ↑ ↗
← S 69.964204°
W 87.088623°		 ← 418.52 m → S 69.964204°
W 87.077637°		 →
↑
418.51 m
↓
↑
418.51 m
↓
S 69.967967°
W 87.088623°		 ← 418.45 m →
175 140 m²		 S 69.967967°
W 87.077637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.258102416992188 y=0.775924682617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.258102416992188 × 215)
    floor (0.258102416992188 × 32768)
    floor (8457.5)     		tx = 8457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775924682617188 × 215)
    floor (0.775924682617188 × 32768)
    floor (25425.5)     		ty = 25425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8457 / 25425 ti = "15/8457/25425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8457/25425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8457 ÷ 215
    8457 ÷ 32768     		x = 0.258087158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25425 ÷ 215
    25425 ÷ 32768     		y = 0.775909423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.258087158203125 × 2 - 1) × π
    -0.48382568359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.51998321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775909423828125 × 2 - 1) × π
    -0.55181884765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73359003785971
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.51998321} λ = -1.51998321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73359003785971))-π/2
    2×atan(0.176649093313923)-π/2
    2×0.174845307703772-π/2
    0.349690615407544-1.57079632675     		φ = -1.22110571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.51998321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.088623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22110571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.964204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8457 KachelY 25425 -1.51998321 -1.22110571 -87.088623 -69.964204
    Oben rechts KachelX + 1 8458 KachelY 25425 -1.51979147 -1.22110571 -87.077637 -69.964204
    Unten links KachelX 8457 KachelY + 1 25426 -1.51998321 -1.22117140 -87.088623 -69.967967
    Unten rechts KachelX + 1 8458 KachelY + 1 25426 -1.51979147 -1.22117140 -87.077637 -69.967967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22110571--1.22117140) × R
    6.56900000000071e-05 × 6371000     		dl = 418.510990000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22110571--1.22117140) × R
    6.56900000000071e-05 × 6371000     		dr = 418.510990000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.51998321--1.51979147) × cos(-1.22110571) × R
    0.000191739999999996 × 0.34260716490866 × 6371000     		do = 418.520532481156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.51998321--1.51979147) × cos(-1.22117140) × R
    0.000191739999999996 × 0.342545449810102 × 6371000     		du = 418.445142826309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22110571)-sin(-1.22117140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34260716490866-0.342545449810102)×R²
    abs(-1.51979147--1.51998321)×6.17150985577353e-05×R²
    0.000191739999999996×6.17150985577353e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.17150985577353e-05×40589641000000     		ar = 175139.666747815m²