Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8456 / 7463
↖ ↑ ↗
← N 79.898412°
W133.549805°		 ← 107.14 m → N 79.898412°
W133.544311°		 →
↑
107.16 m
↓
↑
107.16 m
↓
N 79.897448°
W133.549805°		 ← 107.15 m →
11 482 m²		 N 79.897448°
W133.544311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129035949707031 y=0.113883972167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129035949707031 × 216)
    floor (0.129035949707031 × 65536)
    floor (8456.5)     		tx = 8456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113883972167969 × 216)
    floor (0.113883972167969 × 65536)
    floor (7463.5)     		ty = 7463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8456 / 7463 ti = "16/8456/7463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8456/7463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8456 ÷ 216
    8456 ÷ 65536     		x = 0.1290283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7463 ÷ 216
    7463 ÷ 65536     		y = 0.113876342773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1290283203125 × 2 - 1) × π
    -0.741943359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.33088381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113876342773438 × 2 - 1) × π
    0.772247314453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.42608648977104
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33088381} λ = -2.33088381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42608648977104))-π/2
    2×atan(11.3145158492652)-π/2
    2×1.48264334224674-π/2
    2.96528668449347-1.57079632675     		φ = 1.39449036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33088381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.549805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39449036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.898412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8456 KachelY 7463 -2.33088381 1.39449036 -133.549805 79.898412
    Oben rechts KachelX + 1 8457 KachelY 7463 -2.33078793 1.39449036 -133.544311 79.898412
    Unten links KachelX 8456 KachelY + 1 7464 -2.33088381 1.39447354 -133.549805 79.897448
    Unten rechts KachelX + 1 8457 KachelY + 1 7464 -2.33078793 1.39447354 -133.544311 79.897448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39449036-1.39447354) × R
    1.68200000001395e-05 × 6371000     		dl = 107.160220000889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39449036-1.39447354) × R
    1.68200000001395e-05 × 6371000     		dr = 107.160220000889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33088381--2.33078793) × cos(1.39449036) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.175394008914915 × 6371000     		do = 107.139689928739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33088381--2.33078793) × cos(1.39447354) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.175410568151843 × 6371000     		du = 107.149805163124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39449036)-sin(1.39447354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175394008914915-0.175410568151843)×R²
    abs(-2.33078793--2.33088381)×1.65592369273937e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.65592369273937e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.65592369273937e-05×40589641000000     		ar = 11481.6547192031m²