Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8455 / 8679
↖ ↑ ↗
← S 10.639014°
E  5.778809°		 ← 2 401.22 m → S 10.639014°
E  5.800781°		 →
↑
2 401.17 m
↓
↑
2 401.17 m
↓
S 10.660608°
E  5.778809°		 ← 2 401.05 m →
5 765 513 m²		 S 10.660608°
E  5.800781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516082763671875 y=0.529754638671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516082763671875 × 214)
    floor (0.516082763671875 × 16384)
    floor (8455.5)     		tx = 8455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529754638671875 × 214)
    floor (0.529754638671875 × 16384)
    floor (8679.5)     		ty = 8679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8455 / 8679 ti = "14/8455/8679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8455/8679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8455 ÷ 214
    8455 ÷ 16384     		x = 0.51605224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8679 ÷ 214
    8679 ÷ 16384     		y = 0.52972412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51605224609375 × 2 - 1) × π
    0.0321044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10085924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52972412109375 × 2 - 1) × π
    -0.0594482421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.186762160919739
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10085924} λ = 0.10085924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.186762160919739))-π/2
    2×atan(0.829641033982404)-π/2
    2×0.692555253628407-π/2
    1.38511050725681-1.57079632675     		φ = -0.18568582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10085924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.778809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18568582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.639014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8455 KachelY 8679 0.10085924 -0.18568582 5.778809 -10.639014
    Oben rechts KachelX + 1 8456 KachelY 8679 0.10124273 -0.18568582 5.800781 -10.639014
    Unten links KachelX 8455 KachelY + 1 8680 0.10085924 -0.18606271 5.778809 -10.660608
    Unten rechts KachelX + 1 8456 KachelY + 1 8680 0.10124273 -0.18606271 5.800781 -10.660608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18568582--0.18606271) × R
    0.000376889999999991 × 6371000     		dl = 2401.16618999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18568582--0.18606271) × R
    0.000376889999999991 × 6371000     		dr = 2401.16618999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10085924-0.10124273) × cos(-0.18568582) × R
    0.00038349 × 0.982809865266929 × 6371000     		do = 2401.21559857807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10085924-0.10124273) × cos(-0.18606271) × R
    0.00038349 × 0.982740213805655 × 6371000     		du = 2401.04542509774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18568582)-sin(-0.18606271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982809865266929-0.982740213805655)×R²
    abs(0.10124273-0.10085924)×6.96514612738008e-05×R²
    0.00038349×6.96514612738008e-05×6371000²
    0.00038349×6.96514612738008e-05×40589641000000     		ar = 5765513.47104998m²