Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 8455 / 7435
↖ ↑ ↗
← N 79.925354°
W133.555298°		 ← 106.85 m → N 79.925354°
W133.549805°		 →
↑
106.91 m
↓
↑
106.91 m
↓
N 79.924392°
W133.555298°		 ← 106.86 m →
11 423 m²		 N 79.924392°
W133.549805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129020690917969 y=0.113456726074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129020690917969 × 216)
    floor (0.129020690917969 × 65536)
    floor (8455.5)     		tx = 8455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113456726074219 × 216)
    floor (0.113456726074219 × 65536)
    floor (7435.5)     		ty = 7435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8455 / 7435 ti = "16/8455/7435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8455/7435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8455 ÷ 216
    8455 ÷ 65536     		x = 0.129013061523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7435 ÷ 216
    7435 ÷ 65536     		y = 0.113449096679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129013061523438 × 2 - 1) × π
    -0.741973876953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.33097968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113449096679688 × 2 - 1) × π
    0.773101806640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.42877095614977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33097968} λ = -2.33097968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42877095614977))-π/2
    2×atan(11.3449300913946)-π/2
    2×1.48287845108522-π/2
    2.96575690217045-1.57079632675     		φ = 1.39496058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33097968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.555298°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39496058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.925354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8455 KachelY 7435 -2.33097968 1.39496058 -133.555298 79.925354
    Oben rechts KachelX + 1 8456 KachelY 7435 -2.33088381 1.39496058 -133.549805 79.925354
    Unten links KachelX 8455 KachelY + 1 7436 -2.33097968 1.39494380 -133.555298 79.924392
    Unten rechts KachelX + 1 8456 KachelY + 1 7436 -2.33088381 1.39494380 -133.549805 79.924392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39496058-1.39494380) × R
    1.67799999999385e-05 × 6371000     		dl = 106.905379999608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39496058-1.39494380) × R
    1.67799999999385e-05 × 6371000     		dr = 106.905379999608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33097968--2.33088381) × cos(1.39496058) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.174931058741643 × 6371000     		do = 106.845751272545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33097968--2.33088381) × cos(1.39494380) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.174947579980904 × 6371000     		du = 106.855842243431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39496058)-sin(1.39494380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174931058741643-0.174947579980904)×R²
    abs(-2.33088381--2.33097968)×1.6521239260936e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.6521239260936e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.6521239260936e-05×40589641000000     		ar = 11422.9250306924m²