Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8454 / 25047
↖ ↑ ↗
← N 38.997841°
W133.560791°		 ← 474.69 m → N 38.997841°
W133.555298°		 →
↑
474.70 m
↓
↑
474.70 m
↓
N 38.993572°
W133.560791°		 ← 474.71 m →
225 342 m²		 N 38.993572°
W133.555298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129005432128906 y=0.382194519042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129005432128906 × 216)
    floor (0.129005432128906 × 65536)
    floor (8454.5)     		tx = 8454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.382194519042969 × 216)
    floor (0.382194519042969 × 65536)
    floor (25047.5)     		ty = 25047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8454 / 25047 ti = "16/8454/25047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8454/25047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8454 ÷ 216
    8454 ÷ 65536     		x = 0.128997802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25047 ÷ 216
    25047 ÷ 65536     		y = 0.382186889648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128997802734375 × 2 - 1) × π
    -0.74200439453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.33107555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.382186889648438 × 2 - 1) × π
    0.235626220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.740241603932907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33107555} λ = -2.33107555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.740241603932907))-π/2
    2×atan(2.09644196193517)-π/2
    2×1.1257185293823-π/2
    2.25143705876459-1.57079632675     		φ = 0.68064073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33107555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.560791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68064073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.997841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8454 KachelY 25047 -2.33107555 0.68064073 -133.560791 38.997841
    Oben rechts KachelX + 1 8455 KachelY 25047 -2.33097968 0.68064073 -133.555298 38.997841
    Unten links KachelX 8454 KachelY + 1 25048 -2.33107555 0.68056622 -133.560791 38.993572
    Unten rechts KachelX + 1 8455 KachelY + 1 25048 -2.33097968 0.68056622 -133.555298 38.993572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68064073-0.68056622) × R
    7.45100000000276e-05 × 6371000     		dl = 474.703210000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68064073-0.68056622) × R
    7.45100000000276e-05 × 6371000     		dr = 474.703210000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33107555--2.33097968) × cos(0.68064073) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.777169672613839 × 6371000     		do = 474.685731247426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33107555--2.33097968) × cos(0.68056622) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.777216558937011 × 6371000     		du = 474.7143688402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68064073)-sin(0.68056622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.777169672613839-0.777216558937011)×R²
    abs(-2.33097968--2.33107555)×4.68863231724015e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68863231724015e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68863231724015e-05×40589641000000     		ar = 225341.637647466m²