Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8453 / 8953
↖ ↑ ↗
← S 16.488765°
E  5.734863°		 ← 2 342.74 m → S 16.488765°
E  5.756836°		 →
↑
2 342.62 m
↓
↑
2 342.62 m
↓
S 16.509833°
E  5.734863°		 ← 2 342.48 m →
5 487 840 m²		 S 16.509833°
E  5.756836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515960693359375 y=0.546478271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515960693359375 × 214)
    floor (0.515960693359375 × 16384)
    floor (8453.5)     		tx = 8453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546478271484375 × 214)
    floor (0.546478271484375 × 16384)
    floor (8953.5)     		ty = 8953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8453 / 8953 ti = "14/8453/8953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8453/8953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8453 ÷ 214
    8453 ÷ 16384     		x = 0.51593017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8953 ÷ 214
    8953 ÷ 16384     		y = 0.54644775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51593017578125 × 2 - 1) × π
    0.0318603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10009225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.54644775390625 × 2 - 1) × π
    -0.0928955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.291839844886902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10009225} λ = 0.10009225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.291839844886902))-π/2
    2×atan(0.746888144350385)-π/2
    2×0.641506544556492-π/2
    1.28301308911298-1.57079632675     		φ = -0.28778324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10009225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.734863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28778324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.488765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8453 KachelY 8953 0.10009225 -0.28778324 5.734863 -16.488765
    Oben rechts KachelX + 1 8454 KachelY 8953 0.10047574 -0.28778324 5.756836 -16.488765
    Unten links KachelX 8453 KachelY + 1 8954 0.10009225 -0.28815094 5.734863 -16.509833
    Unten rechts KachelX + 1 8454 KachelY + 1 8954 0.10047574 -0.28815094 5.756836 -16.509833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28778324--0.28815094) × R
    0.000367700000000026 × 6371000     		dl = 2342.61670000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28778324--0.28815094) × R
    0.000367700000000026 × 6371000     		dr = 2342.61670000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10009225-0.10047574) × cos(-0.28778324) × R
    0.00038349 × 0.958875408031897 × 6371000     		do = 2342.73857867082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10009225-0.10047574) × cos(-0.28815094) × R
    0.00038349 × 0.95877097990435 × 6371000     		du = 2342.4834383251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28778324)-sin(-0.28815094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958875408031897-0.95877097990435)×R²
    abs(0.10047574-0.10009225)×0.000104428127547518×R²
    0.00038349×0.000104428127547518×6371000²
    0.00038349×0.000104428127547518×40589641000000     		ar = 5487839.7319426m²