Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8453 / 8668
↖ ↑ ↗
← S 10.401378°
E  5.734863°		 ← 2 403.07 m → S 10.401378°
E  5.756836°		 →
↑
2 403.01 m
↓
↑
2 403.01 m
↓
S 10.422989°
E  5.734863°		 ← 2 402.90 m →
5 774 400 m²		 S 10.422989°
E  5.756836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515960693359375 y=0.529083251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515960693359375 × 214)
    floor (0.515960693359375 × 16384)
    floor (8453.5)     		tx = 8453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529083251953125 × 214)
    floor (0.529083251953125 × 16384)
    floor (8668.5)     		ty = 8668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8453 / 8668 ti = "14/8453/8668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8453/8668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8453 ÷ 214
    8453 ÷ 16384     		x = 0.51593017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8668 ÷ 214
    8668 ÷ 16384     		y = 0.529052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51593017578125 × 2 - 1) × π
    0.0318603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10009225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529052734375 × 2 - 1) × π
    -0.05810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.182543713753174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10009225} λ = 0.10009225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.182543713753174))-π/2
    2×atan(0.833148223096509)-π/2
    2×0.694629020865104-π/2
    1.38925804173021-1.57079632675     		φ = -0.18153829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10009225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.734863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18153829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.401378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8453 KachelY 8668 0.10009225 -0.18153829 5.734863 -10.401378
    Oben rechts KachelX + 1 8454 KachelY 8668 0.10047574 -0.18153829 5.756836 -10.401378
    Unten links KachelX 8453 KachelY + 1 8669 0.10009225 -0.18191547 5.734863 -10.422989
    Unten rechts KachelX + 1 8454 KachelY + 1 8669 0.10047574 -0.18191547 5.756836 -10.422989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18153829--0.18191547) × R
    0.000377180000000005 × 6371000     		dl = 2403.01378000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18153829--0.18191547) × R
    0.000377180000000005 × 6371000     		dr = 2403.01378000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10009225-0.10047574) × cos(-0.18153829) × R
    0.00038349 × 0.983567129442025 × 6371000     		do = 2403.0657576106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10009225-0.10047574) × cos(-0.18191547) × R
    0.00038349 × 0.983498962347653 × 6371000     		du = 2402.89921075744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18153829)-sin(-0.18191547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983567129442025-0.983498962347653)×R²
    abs(0.10047574-0.10009225)×6.81670943715185e-05×R²
    0.00038349×6.81670943715185e-05×6371000²
    0.00038349×6.81670943715185e-05×40589641000000     		ar = 5774400.09105076m²