Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84523 / 20459
↖ ↑ ↗
← N 76.853941°
E 52.149353°		 ← 69.46 m → N 76.853941°
E 52.152100°		 →
↑
69.44 m
↓
↑
69.44 m
↓
N 76.853316°
E 52.149353°		 ← 69.47 m →
4 824 m²		 N 76.853316°
E 52.152100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644863128662109 y=0.156093597412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644863128662109 × 217)
    floor (0.644863128662109 × 131072)
    floor (84523.5)     		tx = 84523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156093597412109 × 217)
    floor (0.156093597412109 × 131072)
    floor (20459.5)     		ty = 20459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84523 / 20459 ti = "17/84523/20459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84523/20459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84523 ÷ 217
    84523 ÷ 131072     		x = 0.644859313964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20459 ÷ 217
    20459 ÷ 131072     		y = 0.156089782714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.644859313964844 × 2 - 1) × π
    0.289718627929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.91017791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156089782714844 × 2 - 1) × π
    0.687820434570312 × 3.1415926535     		Φ = 2.16085162417327
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.91017791} λ = 0.91017791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16085162417327))-π/2
    2×atan(8.67852535422681)-π/2
    2×1.45607531884224-π/2
    2.91215063768448-1.57079632675     		φ = 1.34135431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.91017791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 52.149353°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34135431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.853941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84523 KachelY 20459 0.91017791 1.34135431 52.149353 76.853941
    Oben rechts KachelX + 1 84524 KachelY 20459 0.91022585 1.34135431 52.152100 76.853941
    Unten links KachelX 84523 KachelY + 1 20460 0.91017791 1.34134341 52.149353 76.853316
    Unten rechts KachelX + 1 84524 KachelY + 1 20460 0.91022585 1.34134341 52.152100 76.853316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34135431-1.34134341) × R
    1.09000000001469e-05 × 6371000     		dl = 69.4439000009359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34135431-1.34134341) × R
    1.09000000001469e-05 × 6371000     		dr = 69.4439000009359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.91017791-0.91022585) × cos(1.34135431) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227434198577734 × 6371000     		do = 69.4642584018658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.91017791-0.91022585) × cos(1.34134341) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22744481291284 × 6371000     		du = 69.4675002930201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34135431)-sin(1.34134341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227434198577734-0.22744481291284)×R²
    abs(0.91022585-0.91017791)×1.06143351056853e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06143351056853e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06143351056853e-05×40589641000000     		ar = 4823.98157893278m²