Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84521 / 20455
↖ ↑ ↗
← N 76.856439°
E 52.143860°		 ← 69.45 m → N 76.856439°
E 52.146607°		 →
↑
69.44 m
↓
↑
69.44 m
↓
N 76.855815°
E 52.143860°		 ← 69.45 m →
4 823 m²		 N 76.855815°
E 52.146607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644847869873047 y=0.156063079833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644847869873047 × 217)
    floor (0.644847869873047 × 131072)
    floor (84521.5)     		tx = 84521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156063079833984 × 217)
    floor (0.156063079833984 × 131072)
    floor (20455.5)     		ty = 20455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84521 / 20455 ti = "17/84521/20455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84521/20455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84521 ÷ 217
    84521 ÷ 131072     		x = 0.644844055175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20455 ÷ 217
    20455 ÷ 131072     		y = 0.156059265136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.644844055175781 × 2 - 1) × π
    0.289688110351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.91008204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156059265136719 × 2 - 1) × π
    0.687881469726562 × 3.1415926535     		Φ = 2.16104337177175
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.91008204} λ = 0.91008204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16104337177175))-π/2
    2×atan(8.68018960017432)-π/2
    2×1.45609712178723-π/2
    2.91219424357446-1.57079632675     		φ = 1.34139792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.91008204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 52.143860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34139792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.856439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84521 KachelY 20455 0.91008204 1.34139792 52.143860 76.856439
    Oben rechts KachelX + 1 84522 KachelY 20455 0.91012998 1.34139792 52.146607 76.856439
    Unten links KachelX 84521 KachelY + 1 20456 0.91008204 1.34138702 52.143860 76.855815
    Unten rechts KachelX + 1 84522 KachelY + 1 20456 0.91012998 1.34138702 52.146607 76.855815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34139792-1.34138702) × R
    1.08999999999249e-05 × 6371000     		dl = 69.4438999995213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34139792-1.34138702) × R
    1.08999999999249e-05 × 6371000     		dr = 69.4438999995213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.91008204-0.91012998) × cos(1.34139792) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227391731229076 × 6371000     		do = 69.4512877804762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.91008204-0.91012998) × cos(1.34138702) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227402345672285 × 6371000     		du = 69.4545297046479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34139792)-sin(1.34138702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227391731229076-0.227402345672285)×R²
    abs(0.91012998-0.91008204)×1.06144432085176e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06144432085176e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06144432085176e-05×40589641000000     		ar = 4823.08084934773m²