Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8452 / 5356
↖ ↑ ↗
← N 76.237366°
W 87.143555°		 ← 290.63 m → N 76.237366°
W 87.132568°		 →
↑
290.65 m
↓
↑
290.65 m
↓
N 76.234752°
W 87.143555°		 ← 290.68 m →
84 477 m²		 N 76.234752°
W 87.132568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.257949829101562 y=0.163467407226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.257949829101562 × 215)
    floor (0.257949829101562 × 32768)
    floor (8452.5)     		tx = 8452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163467407226562 × 215)
    floor (0.163467407226562 × 32768)
    floor (5356.5)     		ty = 5356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8452 / 5356 ti = "15/8452/5356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8452/5356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8452 ÷ 215
    8452 ÷ 32768     		x = 0.2579345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5356 ÷ 215
    5356 ÷ 32768     		y = 0.1634521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2579345703125 × 2 - 1) × π
    -0.484130859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.52094195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1634521484375 × 2 - 1) × π
    0.673095703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.11459251603992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.52094195} λ = -1.52094195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11459251603992))-π/2
    2×atan(8.28620858100491)-π/2
    2×1.45069468734435-π/2
    2.9013893746887-1.57079632675     		φ = 1.33059305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.52094195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.143555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33059305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.237366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8452 KachelY 5356 -1.52094195 1.33059305 -87.143555 76.237366
    Oben rechts KachelX + 1 8453 KachelY 5356 -1.52075020 1.33059305 -87.132568 76.237366
    Unten links KachelX 8452 KachelY + 1 5357 -1.52094195 1.33054743 -87.143555 76.234752
    Unten rechts KachelX + 1 8453 KachelY + 1 5357 -1.52075020 1.33054743 -87.132568 76.234752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33059305-1.33054743) × R
    4.56200000000795e-05 × 6371000     		dl = 290.645020000506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33059305-1.33054743) × R
    4.56200000000795e-05 × 6371000     		dr = 290.645020000506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.52094195--1.52075020) × cos(1.33059305) × R
    0.000191750000000157 × 0.237900071984955 × 6371000     		do = 290.628065514884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.52094195--1.52075020) × cos(1.33054743) × R
    0.000191750000000157 × 0.237944381970547 × 6371000     		du = 290.682196332451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33059305)-sin(1.33054743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237900071984955-0.237944381970547)×R²
    abs(-1.52075020--1.52094195)×4.43099855926554e-05×R²
    0.000191750000000157×4.43099855926554e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.43099855926554e-05×40589641000000     		ar = 84477.4663552426m²