Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84512 / 20383
↖ ↑ ↗
← N 76.901331°
E 52.119141°		 ← 69.20 m → N 76.901331°
E 52.121887°		 →
↑
69.19 m
↓
↑
69.19 m
↓
N 76.900709°
E 52.119141°		 ← 69.21 m →
4 788 m²		 N 76.900709°
E 52.121887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644779205322266 y=0.155513763427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644779205322266 × 217)
    floor (0.644779205322266 × 131072)
    floor (84512.5)     		tx = 84512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155513763427734 × 217)
    floor (0.155513763427734 × 131072)
    floor (20383.5)     		ty = 20383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84512 / 20383 ti = "17/84512/20383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84512/20383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84512 ÷ 217
    84512 ÷ 131072     		x = 0.644775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20383 ÷ 217
    20383 ÷ 131072     		y = 0.155509948730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.644775390625 × 2 - 1) × π
    0.28955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.90965061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155509948730469 × 2 - 1) × π
    0.688980102539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.1644948285444
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90965061} λ = 0.90965061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1644948285444))-π/2
    2×atan(8.71020066050403)-π/2
    2×1.45648887939253-π/2
    2.91297775878505-1.57079632675     		φ = 1.34218143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90965061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 52.119141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34218143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.901331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84512 KachelY 20383 0.90965061 1.34218143 52.119141 76.901331
    Oben rechts KachelX + 1 84513 KachelY 20383 0.90969854 1.34218143 52.121887 76.901331
    Unten links KachelX 84512 KachelY + 1 20384 0.90965061 1.34217057 52.119141 76.900709
    Unten rechts KachelX + 1 84513 KachelY + 1 20384 0.90969854 1.34217057 52.121887 76.900709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34218143-1.34217057) × R
    1.08599999999459e-05 × 6371000     		dl = 69.1890599996554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34218143-1.34217057) × R
    1.08599999999459e-05 × 6371000     		dr = 69.1890599996554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90965061-0.90969854) × cos(1.34218143) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.226628676833346 × 6371000     		do = 69.2037928140868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90965061-0.90969854) × cos(1.34217057) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.226639254256175 × 6371000     		du = 69.2070227573941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34218143)-sin(1.34217057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226628676833346-0.226639254256175)×R²
    abs(0.90969854-0.90965061)×1.05774228292277e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.05774228292277e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.05774228292277e-05×40589641000000     		ar = 4788.25711158747m²