Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84510 / 20384
↖ ↑ ↗
← N 76.900709°
E 52.113647°		 ← 69.22 m → N 76.900709°
E 52.116394°		 →
↑
69.25 m
↓
↑
69.25 m
↓
N 76.900086°
E 52.113647°		 ← 69.22 m →
4 794 m²		 N 76.900086°
E 52.116394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644763946533203 y=0.155521392822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644763946533203 × 217)
    floor (0.644763946533203 × 131072)
    floor (84510.5)     		tx = 84510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155521392822266 × 217)
    floor (0.155521392822266 × 131072)
    floor (20384.5)     		ty = 20384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84510 / 20384 ti = "17/84510/20384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84510/20384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84510 ÷ 217
    84510 ÷ 131072     		x = 0.644760131835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20384 ÷ 217
    20384 ÷ 131072     		y = 0.155517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.644760131835938 × 2 - 1) × π
    0.289520263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.90955473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155517578125 × 2 - 1) × π
    0.68896484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.16444689164478
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90955473} λ = 0.90955473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16444689164478))-π/2
    2×atan(8.70978313049692)-π/2
    2×1.4564834473277-π/2
    2.91296689465539-1.57079632675     		φ = 1.34217057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90955473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 52.113647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34217057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.900709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84510 KachelY 20384 0.90955473 1.34217057 52.113647 76.900709
    Oben rechts KachelX + 1 84511 KachelY 20384 0.90960267 1.34217057 52.116394 76.900709
    Unten links KachelX 84510 KachelY + 1 20385 0.90955473 1.34215970 52.113647 76.900086
    Unten rechts KachelX + 1 84511 KachelY + 1 20385 0.90960267 1.34215970 52.116394 76.900086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34217057-1.34215970) × R
    1.08699999998851e-05 × 6371000     		dl = 69.2527699992682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34217057-1.34215970) × R
    1.08699999998851e-05 × 6371000     		dr = 69.2527699992682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90955473-0.90960267) × cos(1.34217057) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226639254256175 × 6371000     		do = 69.221461944195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90955473-0.90960267) × cos(1.34215970) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226649841392038 × 6371000     		du = 69.2246955280003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34217057)-sin(1.34215970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226639254256175-0.226649841392038)×R²
    abs(0.90960267-0.90955473)×1.0587135862522e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.0587135862522e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.0587135862522e-05×40589641000000     		ar = 4793.88995029839m²