Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8451 / 8956
↖ ↑ ↗
← S 16.551962°
E  5.690918°		 ← 2 341.97 m → S 16.551962°
E  5.712891°		 →
↑
2 341.85 m
↓
↑
2 341.85 m
↓
S 16.573023°
E  5.690918°		 ← 2 341.72 m →
5 484 253 m²		 S 16.573023°
E  5.712891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515838623046875 y=0.546661376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515838623046875 × 214)
    floor (0.515838623046875 × 16384)
    floor (8451.5)     		tx = 8451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546661376953125 × 214)
    floor (0.546661376953125 × 16384)
    floor (8956.5)     		ty = 8956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8451 / 8956 ti = "14/8451/8956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8451/8956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8451 ÷ 214
    8451 ÷ 16384     		x = 0.51580810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8956 ÷ 214
    8956 ÷ 16384     		y = 0.546630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51580810546875 × 2 - 1) × π
    0.0316162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.09932526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546630859375 × 2 - 1) × π
    -0.09326171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.292990330477783
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09932526} λ = 0.09932526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.292990330477783))-π/2
    2×atan(0.746029354409762)-π/2
    2×0.640955048545217-π/2
    1.28191009709043-1.57079632675     		φ = -0.28888623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09932526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.690918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28888623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.551962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8451 KachelY 8956 0.09932526 -0.28888623 5.690918 -16.551962
    Oben rechts KachelX + 1 8452 KachelY 8956 0.09970875 -0.28888623 5.712891 -16.551962
    Unten links KachelX 8451 KachelY + 1 8957 0.09932526 -0.28925381 5.690918 -16.573023
    Unten rechts KachelX + 1 8452 KachelY + 1 8957 0.09970875 -0.28925381 5.712891 -16.573023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28888623--0.28925381) × R
    0.000367579999999978 × 6371000     		dl = 2341.85217999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28888623--0.28925381) × R
    0.000367579999999978 × 6371000     		dr = 2341.85217999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09932526-0.09970875) × cos(-0.28888623) × R
    0.00038349 × 0.958561766113755 × 6371000     		do = 2341.97228409765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09932526-0.09970875) × cos(-0.28925381) × R
    0.00038349 × 0.958456983408896 × 6371000     		du = 2341.7162774434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28888623)-sin(-0.28925381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958561766113755-0.958456983408896)×R²
    abs(0.09970875-0.09932526)×0.00010478270485903×R²
    0.00038349×0.00010478270485903×6371000²
    0.00038349×0.00010478270485903×40589641000000     		ar = 5484253.19589355m²