Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 8451 / 5355
↖ ↑ ↗
← N 76.239979°
W 87.154541°		 ← 290.57 m → N 76.239979°
W 87.143555°		 →
↑
290.58 m
↓
↑
290.58 m
↓
N 76.237366°
W 87.154541°		 ← 290.63 m →
84 443 m²		 N 76.237366°
W 87.143555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.257919311523438 y=0.163436889648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.257919311523438 × 215)
    floor (0.257919311523438 × 32768)
    floor (8451.5)     		tx = 8451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163436889648438 × 215)
    floor (0.163436889648438 × 32768)
    floor (5355.5)     		ty = 5355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8451 / 5355 ti = "15/8451/5355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8451/5355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8451 ÷ 215
    8451 ÷ 32768     		x = 0.257904052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5355 ÷ 215
    5355 ÷ 32768     		y = 0.163421630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.257904052734375 × 2 - 1) × π
    -0.48419189453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.52113370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163421630859375 × 2 - 1) × π
    0.67315673828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.1147842636384
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.52113370} λ = -1.52113370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1147842636384))-π/2
    2×atan(8.28779759394066)-π/2
    2×1.45071749360447-π/2
    2.90143498720894-1.57079632675     		φ = 1.33063866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.52113370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.154541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33063866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.239979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8451 KachelY 5355 -1.52113370 1.33063866 -87.154541 76.239979
    Oben rechts KachelX + 1 8452 KachelY 5355 -1.52094195 1.33063866 -87.143555 76.239979
    Unten links KachelX 8451 KachelY + 1 5356 -1.52113370 1.33059305 -87.154541 76.237366
    Unten rechts KachelX + 1 8452 KachelY + 1 5356 -1.52094195 1.33059305 -87.143555 76.237366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33063866-1.33059305) × R
    4.56099999999182e-05 × 6371000     		dl = 290.581309999479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33063866-1.33059305) × R
    4.56099999999182e-05 × 6371000     		dr = 290.581309999479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.52113370--1.52094195) × cos(1.33063866) × R
    0.000191749999999935 × 0.237855771217253 × 6371000     		do = 290.573945957918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.52113370--1.52094195) × cos(1.33059305) × R
    0.000191749999999935 × 0.237900071984955 × 6371000     		du = 290.628065514548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33063866)-sin(1.33059305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237855771217253-0.237900071984955)×R²
    abs(-1.52094195--1.52113370)×4.43007677015939e-05×R²
    0.000191749999999935×4.43007677015939e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.43007677015939e-05×40589641000000     		ar = 84443.2209482398m²