Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84505 / 20401
↖ ↑ ↗
← N 76.890123°
E 52.099915°		 ← 69.28 m → N 76.890123°
E 52.102661°		 →
↑
69.25 m
↓
↑
69.25 m
↓
N 76.889500°
E 52.099915°		 ← 69.28 m →
4 798 m²		 N 76.889500°
E 52.102661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644725799560547 y=0.155651092529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644725799560547 × 217)
    floor (0.644725799560547 × 131072)
    floor (84505.5)     		tx = 84505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155651092529297 × 217)
    floor (0.155651092529297 × 131072)
    floor (20401.5)     		ty = 20401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84505 / 20401 ti = "17/84505/20401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84505/20401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84505 ÷ 217
    84505 ÷ 131072     		x = 0.644721984863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20401 ÷ 217
    20401 ÷ 131072     		y = 0.155647277832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.644721984863281 × 2 - 1) × π
    0.289443969726562 × 3.1415926535     		Λ = 0.90931505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155647277832031 × 2 - 1) × π
    0.688705444335938 × 3.1415926535     		Φ = 2.16363196435123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90931505} λ = 0.90931505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16363196435123))-π/2
    2×atan(8.70268818182937)-π/2
    2×1.45639106341161-π/2
    2.91278212682323-1.57079632675     		φ = 1.34198580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90931505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 52.099915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34198580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.890123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84505 KachelY 20401 0.90931505 1.34198580 52.099915 76.890123
    Oben rechts KachelX + 1 84506 KachelY 20401 0.90936299 1.34198580 52.102661 76.890123
    Unten links KachelX 84505 KachelY + 1 20402 0.90931505 1.34197493 52.099915 76.889500
    Unten rechts KachelX + 1 84506 KachelY + 1 20402 0.90936299 1.34197493 52.102661 76.889500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34198580-1.34197493) × R
    1.08700000001072e-05 × 6371000     		dl = 69.2527700006829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34198580-1.34197493) × R
    1.08700000001072e-05 × 6371000     		dr = 69.2527700006829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90931505-0.90936299) × cos(1.34198580) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226819212444138 × 6371000     		do = 69.2764258069227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90931505-0.90936299) × cos(1.34197493) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226829799124616 × 6371000     		du = 69.2796592516418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34198580)-sin(1.34197493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226819212444138-0.226829799124616)×R²
    abs(0.90936299-0.90931505)×1.05866804777921e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05866804777921e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05866804777921e-05×40589641000000     		ar = 4797.69634543671m²