Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84502 / 20394
↖ ↑ ↗
← N 76.894483°
E 52.091675°		 ← 69.25 m → N 76.894483°
E 52.094422°		 →
↑
69.25 m
↓
↑
69.25 m
↓
N 76.893860°
E 52.091675°		 ← 69.26 m →
4 796 m²		 N 76.893860°
E 52.094422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644702911376953 y=0.155597686767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644702911376953 × 217)
    floor (0.644702911376953 × 131072)
    floor (84502.5)     		tx = 84502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155597686767578 × 217)
    floor (0.155597686767578 × 131072)
    floor (20394.5)     		ty = 20394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84502 / 20394 ti = "17/84502/20394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84502/20394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84502 ÷ 217
    84502 ÷ 131072     		x = 0.644699096679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20394 ÷ 217
    20394 ÷ 131072     		y = 0.155593872070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.644699096679688 × 2 - 1) × π
    0.289398193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.90917124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155593872070312 × 2 - 1) × π
    0.688812255859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.16396752264858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90917124} λ = 0.90917124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16396752264858))-π/2
    2×atan(8.70560893107136)-π/2
    2×1.4564291127281-π/2
    2.91285822545621-1.57079632675     		φ = 1.34206190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90917124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 52.091675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34206190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.894483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84502 KachelY 20394 0.90917124 1.34206190 52.091675 76.894483
    Oben rechts KachelX + 1 84503 KachelY 20394 0.90921918 1.34206190 52.094422 76.894483
    Unten links KachelX 84502 KachelY + 1 20395 0.90917124 1.34205103 52.091675 76.893860
    Unten rechts KachelX + 1 84503 KachelY + 1 20395 0.90921918 1.34205103 52.094422 76.893860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34206190-1.34205103) × R
    1.08700000001072e-05 × 6371000     		dl = 69.2527700006829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34206190-1.34205103) × R
    1.08700000001072e-05 × 6371000     		dr = 69.2527700006829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90917124-0.90921918) × cos(1.34206190) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226745095190916 × 6371000     		do = 69.2537884900106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90917124-0.90921918) × cos(1.34205103) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226755682058994 × 6371000     		du = 69.2570219920276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34206190)-sin(1.34205103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226745095190916-0.226755682058994)×R²
    abs(0.90921918-0.90917124)×1.05868680779497e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05868680779497e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05868680779497e-05×40589641000000     		ar = 4796.12865047841m²